VN TST 2015

Gọi $\alpha$ là nghiệm dương của phương trình $x^2+x=5$. Giả sử $n$ là số nguyên dương và các số nguyên không âm $c_0,c_1,\ldots,c_n$ thỏa mãn
$$c_0+c_1\alpha+c_2\alpha^2+\cdots+c_n\alpha^n=2015.$$
a) Chứng minh rằng $c_0+c_1+\cdots+c_n\equiv2\pmod3$.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng $c_0+c_1+\cdots+c_n$.

Cho đường tròn $(O)$ có dây $BC$ cố định và không phải đường kính. Điểm $A$ di chuyển trên cung lớn $BC$ sao cho tam giác $ABC$ nhọn và $AB\lt AC$. Gọi $I,H$ lần lượt là trung điểm $BC$ và trực tâm tam giác $ABC$. Tia $IH$ cắt lại $(O)$ tại $K$. Đường thẳng $AH$ cắt đường thẳng $BC$ tại $D$, và $KD$ cắt lại $(O)$ tại $M$. Qua $M$ kẻ đường thẳng vuông góc với $BC$, cắt $AI$ tại $N$.
(a) Chứng minh $N$ luôn thuộc một đường tròn cố định khi $A$ thay đổi.
(b) Đường tròn tiếp xúc với $AK$ tại $A$ và đi qua $N$ cắt lại $AB,AC$ lần lượt tại $P,Q$. Gọi $J$ là trung điểm $PQ$. Chứng minh $AJ$ luôn đi qua một điểm cố định.

Một số nguyên dương $k$ có tính chất $T(m)$ nếu với mọi số nguyên dương $a$, tồn tại số nguyên dương $n$ sao cho
$$1^k+2^k+\cdots+n^k\equiv a\pmod m.$$
a) Tìm tất cả số nguyên dương $k$ có tính chất $T(20)$.
b) Tìm số nguyên dương $k$ nhỏ nhất có tính chất $T(20^{15})$.

Có 100 sinh viên tham dự một cuộc thi vấn đáp. Ban giám khảo gồm 25 thành viên. Mỗi sinh viên được hỏi bởi một giám khảo. Biết rằng mỗi sinh viên thích ít nhất 10 giám khảo trong số các thành viên trên.
a) Chứng minh rằng có thể chọn ra 7 giám khảo mà mỗi sinh viên đều thích ít nhất 1 trong 7 người đó.
b) Chứng minh rằng có thể sắp xếp lịch thi sao cho mỗi sinh viên được đúng 1 giám khảo mình thích hỏi và mỗi giám khảo hỏi không quá 10 thí sinh.

Cho tam giác \(ABC\) nhọn không cân và điểm \(P\) nằm trong tam giác sao cho \(\angle APB=\angle APC=\alpha>180^\circ-\angle BAC\). Đường tròn ngoại tiếp tam giác \(APB\) cắt \(AC\) tại \(E\) khác \(A\); đường tròn ngoại tiếp tam giác \(APC\) cắt \(AB\) tại \(F\) khác \(A\). Gọi \(Q\) nằm trong tam giác \(AEF\) sao cho \(\angle AQE=\angle AQF=\alpha\). Gọi \(D\) là điểm đối xứng của \(Q\) qua \(EF\). Phân giác trong góc \(EDF\) cắt \(AP\) tại \(T\).
(a) Chứng minh \(\angle DET=\angle ABC\), \(\angle DFT=\angle ACB\).
(b) Đường thẳng \(PA\) cắt các đường thẳng \(DE,DF\) lần lượt tại \(M,N\). Gọi \(I,J\) lần lượt là tâm nội tiếp các tam giác \(PEM,PFN\), và \(K\) là tâm ngoại tiếp tam giác \(DIJ\). Đường thẳng \(DT\) cắt lại đường tròn này tại \(H\). Chứng minh \(HK\) đi qua tâm nội tiếp tam giác \(DMN\).
Lưu ý biên tập: giữ nguyên mệnh đề trong nguồn, nhưng ý (b) sai nếu không bổ sung điều kiện về vị trí các điểm. Lời giải phân biệt ý (a) đúng, lập luận của nguồn trong cấu hình hạn chế và phản ví dụ chính xác cho ý (b) đã in. Ký hiệu \(AC,AB\) phải hiểu là các đường thẳng chứa các cạnh: bất đẳng thức góc buộc \(E,F\) nằm trên các phần kéo dài qua \(A\).

Tìm số nguyên dương $n$ nhỏ nhất sao cho tồn tại các số thực $a_1,a_2,\ldots,a_n$ thỏa mãn
$$a_1+\cdots+a_n>0,\qquad a_1^3+\cdots+a_n^3\lt 0,\qquad a_1^5+\cdots+a_n^5>0.$$