Câu hỏi 7
Có $m$ học sinh nữ và $n$ học sinh nam ($m,n\ge2$) tham gia một Liên hoan Song ca. Tại liên hoan, mỗi buổi biểu diễn một chương trình văn nghệ. Mỗi chương trình gồm một số bài hát song ca nam–nữ, trong đó mỗi đôi nam–nữ chỉ hát với nhau không quá một bài và mỗi học sinh đều được hát ít nhất một bài. Hai chương trình được coi là khác nhau nếu có một cặp nam–nữ hát với nhau ở chương trình này nhưng không hát với nhau ở chương trình kia. Liên hoan chỉ kết thúc khi tất cả các chương trình khác nhau có thể có đều được biểu diễn, mỗi chương trình đúng một lần.
a) Một chương trình được gọi là lệ thuộc vào học sinh $X$ nếu hủy tất cả các bài song ca mà $X$ tham gia thì có ít nhất một học sinh khác không được hát bài nào trong chương trình đó. Chứng minh rằng trong tất cả các chương trình lệ thuộc vào $X$, số chương trình có số lẻ bài hát bằng số chương trình có số chẵn bài hát.
b) Chứng minh rằng ban tổ chức có thể sắp xếp các buổi biểu diễn sao cho số bài hát tại hai buổi liên tiếp bất kỳ không cùng tính chẵn lẻ.
a) Một chương trình được gọi là lệ thuộc vào học sinh $X$ nếu hủy tất cả các bài song ca mà $X$ tham gia thì có ít nhất một học sinh khác không được hát bài nào trong chương trình đó. Chứng minh rằng trong tất cả các chương trình lệ thuộc vào $X$, số chương trình có số lẻ bài hát bằng số chương trình có số chẵn bài hát.
b) Chứng minh rằng ban tổ chức có thể sắp xếp các buổi biểu diễn sao cho số bài hát tại hai buổi liên tiếp bất kỳ không cùng tính chẵn lẻ.