Câu hỏi 4
Cho đường tròn $(O)$ và hai điểm $B,C$ cố định trên $(O)$, $BC$ không là đường kính. Điểm $A$ thay đổi trên $(O)$ sao cho tam giác $ABC$ nhọn. Gọi $E,F$ lần lượt là chân đường cao kẻ từ $B,C$. Cho $(I)$ là đường tròn thay đổi đi qua $E,F$ và có tâm $I$.
a) Giả sử $(I)$ tiếp xúc với $BC$ tại $D$. Chứng minh $\dfrac{DB}{DC}=\sqrt{\dfrac{\cot B}{\cot C}}$.
b) Giả sử $(I)$ cắt cạnh $BC$ tại $M,N$. Gọi $H$ là trực tâm tam giác $ABC$ và $P,Q$ là các giao điểm của $(I)$ với đường tròn ngoại tiếp tam giác $HBC$. Đường tròn $(K)$ đi qua $P,Q$ và tiếp xúc với $(O)$ tại $T$ ($T$ cùng phía $A$ đối với $PQ$). Chứng minh rằng đường phân giác trong của góc $MTN$ luôn đi qua một điểm cố định.
a) Giả sử $(I)$ tiếp xúc với $BC$ tại $D$. Chứng minh $\dfrac{DB}{DC}=\sqrt{\dfrac{\cot B}{\cot C}}$.
b) Giả sử $(I)$ cắt cạnh $BC$ tại $M,N$. Gọi $H$ là trực tâm tam giác $ABC$ và $P,Q$ là các giao điểm của $(I)$ với đường tròn ngoại tiếp tam giác $HBC$. Đường tròn $(K)$ đi qua $P,Q$ và tiếp xúc với $(O)$ tại $T$ ($T$ cùng phía $A$ đối với $PQ$). Chứng minh rằng đường phân giác trong của góc $MTN$ luôn đi qua một điểm cố định.