Cho $a$ là số thực không âm và $(u_n)$ là dãy số xác định bởi
$$u_1=3,\qquad u_{n+1}=\frac12u_n+\frac{n^2}{4n^2+a}\sqrt{u_n^2+3}\quad(n\ge1).$$
a) Với $a=0$, chứng minh rằng dãy số có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
b) Với mọi $a\in[0,1]$, chứng minh rằng dãy số có giới hạn hữu hạn.
Cho số nguyên dương $K$. Tìm số các số tự nhiên $n$ không vượt quá $10^K$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:
i) $n$ chia hết cho 3;
ii) các chữ số trong biểu diễn thập phân của $n$ thuộc tập hợp $\{2,0,1,5\}$.
Cho đường tròn $(O)$ và hai điểm $B,C$ cố định trên $(O)$, $BC$ không là đường kính. Điểm $A$ thay đổi trên $(O)$ sao cho tam giác $ABC$ nhọn. Gọi $E,F$ lần lượt là chân đường cao kẻ từ $B,C$. Cho $(I)$ là đường tròn thay đổi đi qua $E,F$ và có tâm $I$.
a) Giả sử $(I)$ tiếp xúc với $BC$ tại $D$. Chứng minh $\dfrac{DB}{DC}=\sqrt{\dfrac{\cot B}{\cot C}}$.
b) Giả sử $(I)$ cắt cạnh $BC$ tại $M,N$. Gọi $H$ là trực tâm tam giác $ABC$ và $P,Q$ là các giao điểm của $(I)$ với đường tròn ngoại tiếp tam giác $HBC$. Đường tròn $(K)$ đi qua $P,Q$ và tiếp xúc với $(O)$ tại $T$ ($T$ cùng phía $A$ đối với $PQ$). Chứng minh rằng đường phân giác trong của góc $MTN$ luôn đi qua một điểm cố định.
Cho dãy đa thức $(f_n(x))$ xác định bởi
$$f_0(x)=2,\quad f_1(x)=3x,\quad f_n(x)=3xf_{n-1}(x)+(1-x-2x^2)f_{n-2}(x)\quad(n\ge2).$$
Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ để $f_n(x)$ chia hết cho $x^3-x^2+x$.
Với $a,n$ là các số nguyên dương, xét phương trình
$$a^2x+6ay+36z=n,$$
trong đó $x,y,z$ là các số tự nhiên.
a) Tìm tất cả các giá trị của $a$ để với mọi $n\ge250$, phương trình đã cho luôn có nghiệm tự nhiên $(x,y,z)$.
b) Biết rằng $a\gt 1$ và nguyên tố cùng nhau với 6. Tìm giá trị lớn nhất của $n$ theo $a$ để phương trình đã cho không có nghiệm $(x,y,z)$.
Có $m$ học sinh nữ và $n$ học sinh nam ($m,n\ge2$) tham gia một Liên hoan Song ca. Tại liên hoan, mỗi buổi biểu diễn một chương trình văn nghệ. Mỗi chương trình gồm một số bài hát song ca nam–nữ, trong đó mỗi đôi nam–nữ chỉ hát với nhau không quá một bài và mỗi học sinh đều được hát ít nhất một bài. Hai chương trình được coi là khác nhau nếu có một cặp nam–nữ hát với nhau ở chương trình này nhưng không hát với nhau ở chương trình kia. Liên hoan chỉ kết thúc khi tất cả các chương trình khác nhau có thể có đều được biểu diễn, mỗi chương trình đúng một lần.
a) Một chương trình được gọi là lệ thuộc vào học sinh $X$ nếu hủy tất cả các bài song ca mà $X$ tham gia thì có ít nhất một học sinh khác không được hát bài nào trong chương trình đó. Chứng minh rằng trong tất cả các chương trình lệ thuộc vào $X$, số chương trình có số lẻ bài hát bằng số chương trình có số chẵn bài hát.
b) Chứng minh rằng ban tổ chức có thể sắp xếp các buổi biểu diễn sao cho số bài hát tại hai buổi liên tiếp bất kỳ không cùng tính chẵn lẻ.