Câu hỏi 5
Cho tam giác \(ABC\) nhọn không cân và điểm \(P\) nằm trong tam giác sao cho \(\angle APB=\angle APC=\alpha>180^\circ-\angle BAC\). Đường tròn ngoại tiếp tam giác \(APB\) cắt \(AC\) tại \(E\) khác \(A\); đường tròn ngoại tiếp tam giác \(APC\) cắt \(AB\) tại \(F\) khác \(A\). Gọi \(Q\) nằm trong tam giác \(AEF\) sao cho \(\angle AQE=\angle AQF=\alpha\). Gọi \(D\) là điểm đối xứng của \(Q\) qua \(EF\). Phân giác trong góc \(EDF\) cắt \(AP\) tại \(T\).
(a) Chứng minh \(\angle DET=\angle ABC\), \(\angle DFT=\angle ACB\).
(b) Đường thẳng \(PA\) cắt các đường thẳng \(DE,DF\) lần lượt tại \(M,N\). Gọi \(I,J\) lần lượt là tâm nội tiếp các tam giác \(PEM,PFN\), và \(K\) là tâm ngoại tiếp tam giác \(DIJ\). Đường thẳng \(DT\) cắt lại đường tròn này tại \(H\). Chứng minh \(HK\) đi qua tâm nội tiếp tam giác \(DMN\).
Lưu ý biên tập: giữ nguyên mệnh đề trong nguồn, nhưng ý (b) sai nếu không bổ sung điều kiện về vị trí các điểm. Lời giải phân biệt ý (a) đúng, lập luận của nguồn trong cấu hình hạn chế và phản ví dụ chính xác cho ý (b) đã in. Ký hiệu \(AC,AB\) phải hiểu là các đường thẳng chứa các cạnh: bất đẳng thức góc buộc \(E,F\) nằm trên các phần kéo dài qua \(A\).
(a) Chứng minh \(\angle DET=\angle ABC\), \(\angle DFT=\angle ACB\).
(b) Đường thẳng \(PA\) cắt các đường thẳng \(DE,DF\) lần lượt tại \(M,N\). Gọi \(I,J\) lần lượt là tâm nội tiếp các tam giác \(PEM,PFN\), và \(K\) là tâm ngoại tiếp tam giác \(DIJ\). Đường thẳng \(DT\) cắt lại đường tròn này tại \(H\). Chứng minh \(HK\) đi qua tâm nội tiếp tam giác \(DMN\).
Lưu ý biên tập: giữ nguyên mệnh đề trong nguồn, nhưng ý (b) sai nếu không bổ sung điều kiện về vị trí các điểm. Lời giải phân biệt ý (a) đúng, lập luận của nguồn trong cấu hình hạn chế và phản ví dụ chính xác cho ý (b) đã in. Ký hiệu \(AC,AB\) phải hiểu là các đường thẳng chứa các cạnh: bất đẳng thức góc buộc \(E,F\) nằm trên các phần kéo dài qua \(A\).