Giải hệ với $x,y\in\mathbb R$:
$$\begin{cases}\sqrt{\sin^2x+\dfrac1{\sin^2x}}+\sqrt{\cos^2y+\dfrac1{\cos^2y}}=\sqrt{\dfrac{20y}{x+y}},\\[4pt]\sqrt{\sin^2y+\dfrac1{\sin^2y}}+\sqrt{\cos^2x+\dfrac1{\cos^2x}}=\sqrt{\dfrac{20x}{x+y}}.\end{cases}$$
Cho tam giác không cân $ABC$, đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc $BC,CA,AB$ lần lượt tại $D,E,F$. Đường qua $E$ vuông góc $BI$ cắt $(I)$ lần nữa tại $K\ne E$; đường qua $F$ vuông góc $CI$ cắt $(I)$ lần nữa tại $L\ne F$. Gọi $J$ là trung điểm $KL$.
(a) Chứng minh $D,I,J$ thẳng hàng.
(b) Cố định $B,C$, cho $A$ thay đổi với $AB/AC=k$ không đổi. Gọi $M\ne E,N\ne F$ là giao điểm thứ hai của $IE,IF$ với $(I)$. Đặt $P=MN\cap IB$, $Q=MN\cap IC$. Chứng minh trung trực $PQ$ luôn qua một điểm cố định.
Cho trước một số số tự nhiên viết trên một đường thẳng. Mỗi bước xác định tất cả cặp số kề nhau theo thứ tự trái sang phải, rồi điền giữa mỗi cặp tổng hai số ấy. Sau 2013 bước, số 2013 xuất hiện bao nhiêu lần nếu ban đầu:
(a) có $1,1000$;
(b) có $1,2,\ldots,1000$ theo thứ tự tăng dần?
Tìm mọi hàm $f:\mathbb R\to\mathbb R$ thỏa $f(0)=0$, $f(1)=2013$ và với mọi $x,y\in\mathbb R$,
$$(x-y)\bigl(f(f^2(x))-f(f^2(y))\bigr)$$
$$=(f(x)-f(y))\bigl(f^2(x)-f^2(y)\bigr),$$
trong đó $f^2(x)=(f(x))^2$.
Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp $(O)$ và $D$ thuộc cung $BC$ không chứa $A$. Đường thẳng thay đổi $\Delta$ qua trực tâm $H$ cắt các đường tròn ngoại tiếp $ABH$, $ACH$ lần nữa tại $M\ne H,N\ne H$.
(a) Xác định $\Delta$ để diện tích $AMN$ lớn nhất.
(b) Gọi $d_1$ qua $M$ vuông góc $DB$, $d_2$ qua $N$ vuông góc $DC$. Chứng minh giao điểm $P$ của chúng thuộc một đường tròn cố định.
Tìm số các bộ sáu có thứ tự $(a,b,c,a',b',c')$, mọi số thuộc $\{0,1,\ldots,14\}$, thỏa
$$\begin{cases}ab+a'b'\equiv1\pmod{15},\\ac+a'c'\equiv1\pmod{15},\\bc+b'c'\equiv1\pmod{15}.\end{cases}$$