VMO 2013 — Kỳ thi quốc gia, cả hai ngày Câu hỏi 2

Cho $a_1=1$ và
$$a_{n+1}=3-\frac{a_n+2}{2^{a_n}}\qquad(n\ge1).$$
Chứng minh $(a_n)$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.