VN TST 2013

Cho tứ giác lồi $ABCD$ nội tiếp đường tròn tâm $O$, bán kính $R$, không có cặp cạnh đối nào song song. Gọi $E=AC\cap BD$. Đường phân giác trong của $\angle AEB$ cắt các đường thẳng $AB,BC,CD,DA$ lần lượt tại $M,N,P,Q$.
1. Chứng minh $(AQM),(BMN),(CNP),(DPQ)$ có đúng một điểm chung $K$.
2. Đặt $m=\min\{AC,BD\}$. Chứng minh
$$OK\le\frac{2R^2}{\sqrt{4R^2-m^2}}.$$

1. Chứng minh tồn tại vô số số nguyên dương $t$ sao cho $2012t+1$ và $2013t+1$ đều là số chính phương.
2. Cho các số nguyên dương $m,n$ sao cho $mn+1$ và $(m+1)n+1$ đều là số chính phương. Chứng minh $n$ chia hết cho $8(2m+1)$.

Với số nguyên dương $n$, đặt $S_n=\{0,1,\ldots,2n+1\}$. Gọi $F$ là tập các hàm $f:\mathbb Z\times S_n\to[0,1]$ thỏa mãn:
(i) $f(x,0)=f(x,2n+1)=0$ với mọi số nguyên $x$;
(ii) $f(x-1,y)+f(x+1,y)+f(x,y-1)+f(x,y+1)=1$ với $x$ nguyên và $1\le y\le2n$.
1. Chứng minh $F$ vô hạn.
2. Với $f\in F$, gọi $v_f$ là tập ảnh của $f$. Chứng minh $v_f$ hữu hạn.
3. Tìm giá trị lớn nhất của $|v_f|$.

Tìm số nguyên dương lớn nhất $k$ sao cho với mọi $a,b,c\gt 0$ thỏa $abc=1$,
$$\frac1a+\frac1b+\frac1c+\frac{k}{a+b+c+1}\ge\frac{k}{4}+3.$$

Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân, $\angle A=45^\circ$. Các đường cao $AD,BE,CF$ đồng quy tại $H$. Đặt $P=EF\cap BC$, $I$ là trung điểm $BC$, $Q=IF\cap PH$.
1. Chứng minh $\angle IQH=\angle AIE$.
2. Gọi $K$ là trực tâm tam giác $AEF$ và $(J)$ là đường tròn ngoại tiếp $KPD$, tâm $J$. Gọi $G\ne K$ là giao điểm thứ hai của $CK$ với $(J)$, $M\ne G$ là giao điểm thứ hai của $IG$ với $(J)$, $N\ne C$ là giao điểm thứ hai của $JC$ với đường tròn đường kính $BC$. Chứng minh $G,M,N,C$ đồng viên.

Các điều kiện giao điểm thứ hai được bổ sung để diễn đạt rõ phép dựng mà nguồn sử dụng.

Một khối lập phương $10\times10\times10$ gồm 1000 khối lập phương đơn vị màu trắng. An và Bình chơi một trò chơi. An chọn một số dải $1\times1\times10$ sao cho hai dải bất kì không có chung đỉnh hoặc cạnh, rồi đổi tất cả các ô trong các dải thành màu đen. Bình chọn một số ô rồi hỏi An màu của các ô ấy. Bình phải chọn ít nhất bao nhiêu ô để, với mọi câu trả lời của An, luôn xác định được chính xác những ô nào màu đen?

Cách hiểu: các dải là những hàng đầy đủ song song với ba trục của lưới; Bình chọn toàn bộ tập ô cần hỏi trước khi nhận câu trả lời, như lời giải nguồn. Cụm “ô vuông đơn vị” trong đề ba chiều được hiểu là khối lập phương đơn vị.