VN TST 2011

Trên mặt phẳng tọa độ, một con cào cào ở điểm $(1,1)$. Nó có thể nhảy từ $A$ sang $B$ khi tọa độ của $A,B$ là các số nguyên dương và tam giác $OAB$ có diện tích $\tfrac12$, với $O$ là gốc tọa độ.
1. Tìm các điểm $(m,n)$ mà con cào cào có thể đến sau hữu hạn bước nhảy.
2. Chứng minh rằng nó có thể đến mỗi điểm nói trên sau ít hơn $|m-n|$ bước.

Lưu ý biên tập: Câu 2 chép đúng cận nghiêm ngặt nhưng sai của nguồn. Chẳng hạn, $(2,1)$ cần một bước, không thể ít hơn một bước. Mệnh đề sửa đúng là **không quá** $|m-n|$ bước; điểm $(1,1)$ cần không bước. Lời giải chứng minh mệnh đề đã sửa.

Cho đường tròn $(O)$ và điểm $A$ nằm ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến $AB,AC$, với các tiếp điểm là $B,C$. Gọi $P$ thuộc tia đối của tia $BA$, $Q$ thuộc tia đối của tia $CA$, sao cho $PQ$ tiếp xúc với $(O)$. Qua $P$ kẻ đường thẳng song song với $AC$, cắt đường thẳng $BC$ tại $E$. Qua $Q$ kẻ đường thẳng song song với $AB$, cắt $BC$ tại $F$.
1. Chứng minh $QE,PF$ luôn đi qua các điểm cố định lần lượt là $M,N$.
2. Chứng minh tích $PM\cdot QN$ không đổi.

Đính chính: Nguồn ghi nhầm các tiếp điểm là $A,B$; đúng phải là $B,C$.

Cho số nguyên $n\ge3$ và các số thực $x_1,\ldots,x_n$ thỏa mãn
$$\sum_{i=1}^n x_i=0,\qquad \sum_{i=1}^n x_i^2=n(n-1),\qquad x_1\ge x_2\ge\cdots\ge x_n.$$
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của $f=x_1+x_2$.

Cho dãy số $(a_n)$ xác định bởi $a_0=1$, $a_1=3$ và
$$a_{n+2}=1+\left\lfloor\frac{a_{n+1}^2}{a_n}\right\rfloor\quad(n\ge0).$$
Chứng minh $a_na_{n+2}-a_{n+1}^2=2^n$ với mọi số nguyên $n\ge0$.

Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho
$$2^{n+2}(2^n-1)-8\cdot3^n+1$$
là một số chính phương.

Có $n$ học sinh ngồi quanh một bàn tròn, mỗi em có một số kẹo, và tổng số kẹo là một bội của $n$. Được thực hiện quy tắc: nếu một học sinh có nhiều kẹo hơn bạn ngay bên phải thì chuyển **một chiếc kẹo** từ em đó sang bạn bên phải.
Chứng minh rằng bằng cách chọn các lần chuyển thích hợp, sau hữu hạn bước, mọi học sinh có số kẹo bằng nhau.

Làm rõ bản nguồn: Cụm “một chiếc kẹo” bị thiếu trong đề in, nhưng được xác định rõ qua các phương trình trong lời giải nguồn.