Cho số nguyên dương $n$. Chứng minh rằng với mọi số thực dương $x$,
$$\frac{x^n(x^{n+1}+1)}{x^n+1}\le\left(\frac{x+1}{2}\right)^{2n+1}.$$
Hỏi đẳng thức xảy ra khi nào?
Cho dãy số thực $(x_n)$ xác định bởi
$$x_1=1,\qquad x_n=\frac{2n}{(n-1)^2}\sum_{i=1}^{n-1}x_i\quad(n\ge2).$$
Với mỗi số nguyên dương $n$, đặt $y_n=x_{n+1}-x_n$. Chứng minh rằng $(y_n)$ có giới hạn hữu hạn khi $n\to+\infty$.
Trong mặt phẳng, cho đường tròn $(O)$ đường kính $AB$. Xét điểm $P$ di động trên tiếp tuyến tại $B$ của $(O)$ sao cho $P\ne B$. Đường thẳng $PA$ cắt $(O)$ tại điểm thứ hai $C$. Gọi $D$ là điểm đối xứng với $C$ qua $O$. Đường thẳng $PD$ cắt $(O)$ tại điểm thứ hai $E$.
1. Chứng minh rằng $AE,BC,PO$ cùng đi qua một điểm $M$.
2. Xác định vị trí của $P$ để tam giác $AMB$ có diện tích lớn nhất, và tính giá trị lớn nhất đó theo bán kính $R$.
Cho ngũ giác lồi $ABCDE$ có độ dài mỗi cạnh và độ dài các đường chéo $AC,AD$ không vượt quá $\sqrt3$. Lấy 2011 điểm phân biệt tùy ý nằm trong ngũ giác đó. Chứng minh rằng tồn tại một hình tròn đơn vị có tâm nằm trên cạnh của ngũ giác đã cho chứa ít nhất 403 điểm trong số các điểm đã lấy.
Cho tam giác $ABC$ không cân tại $A$ và có các góc $ABC,ACB$ nhọn. Xét điểm $D$ di động trên cạnh $BC$ sao cho $D$ không trùng với $B,C$ và hình chiếu vuông góc của $A$ trên $BC$. Đường thẳng $d$ vuông góc với $BC$ tại $D$ cắt các đường thẳng $AB,AC$ tương ứng tại $E,F$. Gọi $M,N,P$ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác $AEF,BDE,CDF$. Chứng minh rằng bốn điểm $A,M,N,P$ cùng nằm trên một đường tròn khi và chỉ khi $d$ đi qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$.
Cho $n$ là số nguyên dương. Chứng minh rằng đa thức
$$P(x,y)=x^n+xy+y^n$$
không thể viết được dưới dạng $P(x,y)=G(x,y)H(x,y)$, trong đó $G,H$ là các đa thức với hệ số thực, khác đa thức hằng.