MathNet 2015-part-02 — 191 bài (EN–VI)

Gọi $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}$ là tập các số nguyên dương. Tìm tất cả các hàm số $f$ xác định trên $\mathbb{N}$ và nhận giá trị trong $\mathbb{N}$ sao cho $(n - 1)^2 \lt f(n)f(f(n)) \lt n^2 + n$ với mọi số nguyên dương $n$.

Cho tam giác nhọn $ABC$ với các đường cao $AD$, $BE$ và $CF$. Gọi $H$ là trực tâm, tức là giao điểm của các đường cao. Chứng minh rằng
$$
\frac{AB \cdot AC + BC \cdot BA + CA \cdot CB}{AH \cdot AD + BH \cdot BE + CH \cdot CF} \le 2.
$$

Trên một lưới ô vuông cỡ $(4n + 2) \times (4n + 2)$, con rùa có thể di chuyển giữa các ô có chung cạnh. Con rùa xuất phát từ một ô ở góc của lưới, đi vào mỗi ô đúng một lần và kết thúc tại ô mà nó xuất phát. Theo $n$, số nguyên dương $k$ lớn nhất sao cho chắc chắn có một hàng hoặc một cột mà con rùa đã bước vào ít nhất $k$ lần riêng biệt là bao nhiêu?

Cho tam giác nhọn $ABC$ với tâm đường tròn ngoại tiếp $O$. Gọi $\Gamma$ là đường tròn có tâm nằm trên đường cao kẻ từ $A$ của tam giác $ABC$, đi qua đỉnh $A$ và các điểm $P$, $Q$ lần lượt thuộc các cạnh $AB$, $AC$. Giả sử $BP \cdot CQ = AP \cdot AQ$. Chứng minh rằng $\Gamma$ tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác $BOC$.

Cho $p$ là số nguyên tố sao cho $\frac{p-1}{2}$ cũng là số nguyên tố, và cho $a$, $b$, $c$ là các số nguyên không chia hết cho $p$. Chứng minh rằng có nhiều nhất $1+\sqrt{2 p}$ số nguyên dương $n$ sao cho $n\lt p$ và $p$ chia hết $a^{n}+b^{n}+c^{n}$.

Xác định số nguyên dương $n$ sao cho tổng của hai ước nhỏ nhất của nó bằng $6$ và tổng của hai ước lớn nhất của nó bằng $1122$.

Gọi $I$ là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác nhọn $ABC$ và giả sử $|AC| \gt |BC|$. Đường phân giác và đường cao kẻ từ đỉnh $C$ tạo với nhau một góc $10^\circ$. Nếu $\angle AIB = 120^\circ$, hãy xác định các góc của tam giác $ABC$. (Ilko Brnetić)

Có tồn tại số nguyên dương $n$ sao cho $n^2 + 2n + 2015$ là số chính phương hay không?

Tổng các bình phương của tất cả các nghiệm của phương trình $x^4 + a x^2 + b = 0$ bằng $32$, và tích của tất cả các nghiệm của phương trình đó bằng $4$. Hãy xác định $a$ và $b$. (Tamara Srnec)

Cho tứ giác $ABCD$ với $|AB| = 6$, $|BC| = 9$, $|CD| = 18$ và $|AD| = 5$. Hãy xác định độ dài đường chéo $AC$ nếu biết rằng nó là một số nguyên dương. (Andrea Aglić-Aljinović)

Với hai số thực dương $x$ và $y$ bất kì, chứng minh
$$
\log^2(xy) \ge \log(x^2)\log(y^2).
$$

Hãy xác định tất cả các giá trị mà biểu thức
$$
\frac{1 + \cos^2 x}{\sin^2 x} + \frac{1 + \sin^2 x}{\cos^2 x},
$$
có thể nhận, trong đó $x$ là số thực.

Xác định số nguyên dương $n$ lớn nhất sao cho
$$
n + 5 \mid n^4 + 1395.
$$

Cho tứ diện $ABCD$ sao cho $\angle BAC = \angle CAD = \angle DAB = 90^\circ$, $|AD| = 2\sqrt{2}$ và $|AB| = |AC| = 3$. Hãy xác định bán kính mặt cầu nội tiếp của tứ diện. (Mea Bombardelli)

Có mười tấm thẻ màu trắng và mỗi màu đỏ, xanh dương, xanh lá, vàng, tím một tấm thẻ. Các thẻ trắng giống hệt nhau. Mỗi tấm thẻ có đúng một mặt mang kí hiệu $X$. Có bao nhiêu cách xếp chồng các tấm thẻ lên nhau sao cho không có hai tấm thẻ nào úp mặt có kí hiệu $X$ vào nhau?

Mười chiếc ghế được xếp quanh một chiếc bàn tròn và được đánh số từ $1$ đến $10$ liên tiếp (sao cho ghế $1$ và ghế $10$ cũng kề nhau), và mỗi ghế có một hiệp sĩ ngồi. Lúc đầu, mỗi hiệp sĩ có một số chẵn đồng xu. Đồng thời, mỗi hiệp sĩ đưa một nửa số xu của mình cho người hàng xóm bên trái, và nửa còn lại cho người hàng xóm bên phải. Sau đó, hiệp sĩ ngồi ở ghế $1$ có $22$ đồng xu, và mỗi hiệp sĩ kế tiếp có nhiều hơn người trước hai đồng xu, cho đến hiệp sĩ ở ghế $10$ có $40$ đồng xu.

Hiệp sĩ cuối cùng có $36$ đồng xu lúc đầu có bao nhiêu đồng xu? (Hồng Kông)

Chứng minh rằng không tồn tại số nguyên dương $n$ sao cho $7^n - 1$ chia hết cho $6^n - 1$.

Các số nguyên dương từ $1$ đến $n$ được viết lên bảng ($n \ge 3$). Ante lặp lại thao tác sau: đầu tiên anh ta chọn hai số trên bảng, rồi tăng cả hai số đó thêm cùng một số nguyên dương tùy ý.
Hãy xác định tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho Ante có thể, bằng cách lặp lại thao tác này, làm cho tất cả các số trên bảng bằng nhau. (Ilko Brnetić)

Hai đường tròn $k_1$ và $k_2$ cắt nhau tại hai điểm $A$ và $B$. Đường thẳng $l$ cắt đường tròn $k_1$ tại các điểm $C$ và $E$, và cắt đường tròn $k_2$ tại các điểm $D$ và $F$ sao cho $D$ nằm giữa $C$ và $E$, và $E$ nằm giữa $D$ và $F$. Các đường thẳng $CA$ và $BF$ cắt nhau tại $G$, các đường thẳng $DA$ và $BE$ cắt nhau tại $H$.
Chứng minh rằng $CF \parallel HG$.

Cho $a$, $b$, $c$ và $d$ là bốn số thực đôi một phân biệt. Nếu $a$ và $b$ là các nghiệm của phương trình $x^2 - 10c x - 11d = 0$, và $c$ và $d$ là các nghiệm của phương trình $x^2 - 10a x - 11b = 0$, hãy xác định tổng $a + b + c + d$.