Bốn gia đình, mỗi gia đình có hai người con, và cả tám người con đều sinh sau năm 1989. Bốn người con út đều sinh cùng một năm, và tổng các chữ số của năm đó bằng tích các chữ số khác không của nó. Hiệu số tuổi giữa hai anh chị em trong mỗi gia đình là một số chính phương. Hãy tìm năm sinh của bốn người con cả trong các gia đình, biết rằng tuổi của họ đôi một khác nhau.
Trên bảng có tám số, tất cả đều bằng không. Một *lượt* gồm việc chọn ngẫu nhiên bốn số trong chúng, $a$, $b$, $c$, $d$, và thay chúng lần lượt bằng $a+3$, $b+3$, $c+2$ và $d+1$.
a) Sau số lượt nhỏ nhất là bao nhiêu thì trên bảng có thể xuất hiện tám số liên tiếp?
b) Có hay không một dãy các lượt sau đó tất cả các số trên bảng đều bằng $2015$?
Tìm tất cả các số nguyên dương có đúng $8$ ước nguyên dương, trong đó có ba ước là các số nguyên tố có dạng $a$, $\overline{bc}$ và $\overline{cb}$, biết rằng $a + \overline{bc} + \overline{cb}$ là số chính phương và $a, b, c$ là các chữ số, với $b \lt c$.
a) Tìm tất cả các số nguyên dương $a$ sao cho
$$
\frac{1}{4} \lt \frac{1}{a+1} + \frac{1}{a+2} + \frac{1}{a+3} \lt \frac{1}{3}.
$$
b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên $p \ge 2$ tồn tại $p$ số nguyên dương liên tiếp $a_1, a_2, \dots, a_p$ sao cho
$$
\frac{1}{p+1} \lt \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \dots + \frac{1}{a_p} \lt \frac{1}{p}.
$$
Cho tam giác $ABC$ có $m(\angle A) = 90^\circ$, $AC \lt AB$. Trên các tia $BA$ và $AC$ lấy lần lượt các điểm $E$ và $D$ sao cho $A \in (BE)$, $C \in (AD)$, $AE = AC$ và $AD = AB$. Gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $[BC]$ và $[DE]$, và gọi $\{R\} = EC \cap BD$. Chứng minh rằng $MN = RA$.
Cho tam giác $ABC$ có $\angle B = 90^\circ$. Gọi $I$ là tâm đường tròn nội tiếp và $F$, $D$, $E$ lần lượt là các tiếp điểm của đường tròn nội tiếp với các cạnh $[AB]$, $[BC]$, $[AC]$. Nếu $CI \cap EF = \{M\}$ và $DM \cap AB = \{N\}$, chứng minh rằng:
Cho hình chóp cụt tam giác $ABCA'B'C'$. Các điểm $D \in (AA')$, $E \in (BB')$ và $F \in (CC')$ được chọn sao cho các mặt phẳng $(AEF)$ và $(DB'C')$ song song. Chứng minh rằng các mặt phẳng $(A'EF)$ và $(DBC)$ cũng song song.
Ký hiệu $p(a)$ là chữ số đầu tiên của số tự nhiên $a$. Chứng minh rằng mỗi tập hợp
$$
A = \{n \in \mathbb{N} \mid p(5^n) - p(2^n) \gt 0\}, \quad B = \{n \in \mathbb{N} \mid p(5^n) - p(2^n) \lt 0\}
$$
đều có vô hạn phần tử.
Trong tứ diện đều $ABCD$ xét các mặt phẳng song song với các mặt của nó sao cho mỗi cạnh được chia thành 6 đoạn bằng nhau. Các mặt phẳng này xác định, trên các cạnh của tứ diện, trên các mặt của nó và bên trong nó, một tập gồm 80 giao điểm. Ký hiệu tập này là $V$.
Tìm số phần tử lớn nhất của một tập con $W$ của tập $V \cup \{A, B, C, D\}$ có tính chất: ba điểm bất kỳ của $W$ không thẳng hàng và mặt phẳng đi qua ba điểm đó không song song với bất kỳ mặt nào của tứ diện $ABCD$, cũng không chứa một mặt nào của nó.
Mihai Monea
Một hàm bậc hai $f$ biến mọi khoảng $I$ có độ dài $1$ thành một khoảng $f(I)$ có độ dài ít nhất là $1$.
Chứng minh rằng với mọi khoảng $J$ có độ dài $2$, độ dài của khoảng $f(J)$ ít nhất là $4$.
Cho $P$ là một điểm nằm trong tam giác $ABC$. Các đường thẳng $AP$, $BP$, $CP$ cắt $BC$, $AC$, $AB$ lần lượt tại $A_1$, $B_1$, $C_1$. Biết rằng
$$
s(PBA_1) + s(PCB_1) + s(PAC_1) = \frac{1}{2}s(ABC),
$$
(trong đó $s(XYZ)$ ký hiệu diện tích của tam giác $XYZ$), chứng minh rằng $P$ nằm trên một trong các đường trung tuyến của tam giác $ABC$.
Cho $a, b, c, d \ge 0$ là các số thực sao cho $a + b + c + d = 1$. Chứng minh rằng
$$
\sqrt{a + \frac{(b-c)^2}{6} + \frac{(c-d)^2}{6} + \frac{(d-b)^2}{6}} + \sqrt{b} + \sqrt{c} + \sqrt{d} \le 2.
$$
Cho $k \ge 1$ là một số nguyên dương, $p_1, p_2, \dots, p_k$ là các số nguyên tố phân biệt và đặt $n = p_1p_2\dots p_k$. Với một hàm $f : \{1, 2, \dots, n\} \to \{1, 2, \dots, n\}$, định nghĩa $p(f) = f(1)f(2)\dots f(n)$.
a) Xác định số hàm $f$ sao cho $p(f)$ chia hết $n$.
b) Với $n=6$, xác định số hàm $f$ sao cho $p(f)$ chia hết $36$.