Cho $a$ và $b$ là hai số nguyên dương nguyên tố cùng nhau sao cho $(a, b) \ne (2, 1)$. Chứng minh rằng
$$
\text{rad}(a^n + b^n) \ne \text{rad}(a^m + b^m),
$$
với mọi cặp số nguyên dương phân biệt $m$ và $n$. Ở đây $\text{rad}(c)$ ký hiệu các ước nguyên tố phân biệt của số nguyên $c$.
Một đường tròn tâm $I$ nội tiếp lục giác $ABCDEF$. Gọi $A', B', C', D', E', F'$ lần lượt là trung điểm của các đường chéo $BF, AC, BD, CE, DF, EA$. Giả sử các đường thẳng $AA', CC', EE'$ cắt nhau tại $X$, các đường thẳng $BB', DD', FF'$ cắt nhau tại $Y$. Nếu tam giác nằm giữa các đường thẳng $AB, CD, EF$ không đồng dạng với tam giác nằm giữa các đường thẳng $BC, DE, FA$ thì chứng minh rằng ba điểm $X, I, Y$ thẳng hàng.
(Batzaya G.)
Cho tam giác $ABC$ không cân. Trung điểm của các cạnh $AB$, $BC$ và $CA$ lần lượt được ký hiệu là $C_0$, $A_0$ và $B_0$. Gọi $l_A$, $l_B$ và $l_C$ lần lượt là các đường phân giác trong của các góc $A$, $B$ và $C$. Nếu $M$ là giao điểm của đường thẳng vuông góc với $l_C$ kẻ từ $C_0$ và đường thẳng vuông góc với $l_A$ kẻ từ $A_0$, thì chứng minh rằng $MB_0$ song song với $l_B$.
Cho $n$ và $a$ là các số nguyên dương thỏa mãn $a^n \equiv 1 \pmod{n}$. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương $s$ sao cho $a^s + s \equiv 0 \pmod{n}$.
Cho tam giác $ABC$. Các đường phân giác của các góc $\angle BAC$, $\angle CBA$, $\angle ACB$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ lần lượt tại các điểm $M$, $N$, $K$. Gọi $P$ là giao điểm của các đoạn $AB$ và $MK$, và $Q$ là giao điểm của các đoạn $AC$ và $MN$. Chứng minh rằng các đường thẳng $PQ$ và $BC$ song song.
$51$ số nguyên phân biệt được đặt trên một đường tròn sao cho mỗi số lớn hơn tổng của ba số tiếp theo theo chiều kim đồng hồ. Số lượng lớn nhất các số lớn hơn hoặc bằng $1$ là bao nhiêu?
Có tồn tại hay không bốn đa thức bậc hai sao cho tổng của ba đa thức bất kỳ trong chúng có nghiệm thực, nhưng tổng của hai đa thức bất kỳ trong chúng không có nghiệm thực?
Các đường chéo $AC$, $BD$ của tứ giác lồi $ABCD$ cắt nhau tại điểm $O$. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB$, $CD$. Điểm $P$ được chọn sao cho tứ giác $MONP$ là hình bình hành. Chứng minh rằng diện tích các tam giác $APD$, $BPC$ bằng nhau.
Với các số thực dương $a$, $b$, $c$, $d$ bất kỳ, chứng minh rằng
$$
\frac{(a+b)^2 + (c+d)^2}{(a^2+c^2)(b+d) + (a+c)(b^2+d^2)} \le \frac{1}{a+c} + \frac{1}{b+d}.
$$
Gọi $H$ là giao điểm của các đường cao $AD$ và $BE$ của tam giác nhọn $ABC$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ cắt đường tròn đường kính $CH$ tại điểm $K$ khác $C$. Chứng minh rằng
$$
\frac{DK}{KE} = \frac{DH}{HE}.
$$
Đếm số cách tô màu các ô vuông đơn vị của một bảng $4 \times 4$ bằng hai màu đỏ và xanh sao cho không có hai hàng nào và không có hai cột nào được tô giống nhau.
Gọi $M$ là trọng tâm và $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác $ABC$. Lấy điểm $K$ trên đường thẳng $OM$ sao cho $\angle KAB = \angle ABC$ và các điểm $K$, $C$ nằm cùng phía đối với đường thẳng $AB$. Chứng minh rằng $\angle KCB = \angle ABC$.
Cho $ABCDEF$ là một lục giác ngoại tiếp đường tròn. Gọi $AB \cap CD = K$, $CD \cap EF = L$, $DE \cap AF = M$ và $AF \cap BC = N$. Chứng minh rằng các đường thẳng $KM$, $LN$ và $BE$ đồng quy.
Tìm tất cả các ánh xạ $f: \mathbb{Z}_{\ge 1} \to \mathbb{Z}_{\ge 1}$ sao cho với mọi số nguyên dương $a$ và $b$, số
$$
af(a)^2 + bf(b)^2 + 3ab(f(a) + f(b))
$$
là một lập phương đúng.
Cho $a$, $b$, $c$ và $d$ là các số thực không âm thỏa mãn $a + b + c + d = 2$. Chứng minh rằng
$$
(a^2 + b^2)(b^2 + c^2)(c^2 + d^2)(d^2 + a^2) \le 1.
$$
Cho tam giác $ABC$ có $2 \cdot \angle A \gt \angle B$. Điểm $D$ được chọn trên đoạn $BC$ sao cho $2 \cdot \angle CAD = \angle ABC$. Gọi $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$ và $AD$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $AHC$ tại $K$ khác $A$. Đường thẳng $AB$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $BDK$ tại $E$ khác $B$. Chứng minh rằng $AE = CD$.
(Purevsuren D.)