Cho ba điểm $A$, $B$, $C$ nằm trên một đường thẳng theo thứ tự đó, với $AB = BC$. Một ô tô đi từ $A$ đến $B$ với vận tốc $40$ km/h, rồi đi từ $B$ đến $C$ với vận tốc $60$ km/h, không dừng lại giữa chừng. Vận tốc trung bình của cả chuyến đi từ $A$ đến $C$ là bao nhiêu?
Một đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ Descartes được gọi là ổn định nếu nó đi qua ít nhất hai điểm $(x, y)$ mà $x$ và $y$ đều là số hữu tỉ. Hãy chứng minh hoặc bác bỏ: mọi điểm đều nằm trên một đường thẳng ổn định nào đó.
Cho tam giác $ABC$ và điểm $P$ nằm bên trong tam giác. Các tia $BP$ và $CP$ cắt $AC$ và $AB$ lần lượt tại $Y$ và $X$. Chứng minh rằng nếu $AP$ chia đôi $BC$ (đi qua trung điểm của $BC$) thì $XY \parallel BC$.
Có ba hộp đá. Mỗi giờ, Sisyphus chuyển một viên đá từ hộp này sang hộp khác. Với mỗi lần chuyển một viên đá, ông nhận từ thần Zeus một số đồng xu bằng số viên đá trong hộp lấy đá ra trừ đi số viên đá trong hộp nhận, trong đó viên đá mà Sisyphus vừa chuyển không được tính. Nếu số này âm, Sisyphus phải trả số tiền tương ứng (và có thể trả sau nếu hết tiền).
Sau 1000 năm, tất cả các viên đá đều nằm trong các hộp ban đầu của chúng. Số tiền kiếm được lớn nhất có thể của Sisyphus tại thời điểm đó là bao nhiêu?
Yan và Jacob chơi trò chơi sau. Yan đưa cho Jacob một con xúc xắc 4 mặt không cân đối, các mặt ghi số $1$, $2$, $3$, $4$ với xác suất (trọng số) lần lượt là $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{3}$, $\frac{1}{7}$, $\frac{1}{42}$. Sau đó, Jacob chọn $4$ số thực dương $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ sao cho $x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=1$. Cuối cùng, Yan gieo xúc xắc, và Jacob nhận được $10+\log \left(x_{k}\right)$ đô la nếu xúc xắc hiện mặt $k$ (lưu ý số này có thể âm). Jacob nên chọn các số $x_{i}$ nào để cực đại hóa kỳ vọng số tiền nhận được?
(Ở đây $\log$ là logarit tự nhiên, có cơ số $e \approx 2,718$.)
Cho $\mathcal{P}$ là một đa giác đều $17$ đỉnh; ta vẽ tất cả $\binom{17}{2}$ đường chéo và cạnh của $\mathcal{P}$ và tô mỗi cạnh hoặc đường chéo bằng một trong tám màu khác nhau. Giả sử không có tam giác nào (với các đỉnh là đỉnh của $\mathcal{P}$) có cả ba cạnh cùng màu. Số tam giác lớn nhất có thể có mà ba cạnh đều khác màu nhau là bao nhiêu?
Cho tam giác nhọn $ABC$ có trực tâm $H$, tâm đường tròn ngoại tiếp $O$ và tâm đường tròn nội tiếp $I$. Chứng minh rằng tia $AI$ là tia phân giác của góc $\angle HAO$.
Có một cụm gồm $100$ tế bào. Mỗi phút, mỗi tế bào chết với xác suất $\frac{1}{3}$; nếu không thì nó tách thành hai bản sao giống hệt nhau. Xác suất để cụm tế bào không bao giờ bị tuyệt chủng là bao nhiêu?
Gọi $H, I, O, \Omega$ lần lượt là trực tâm, tâm đường tròn nội tiếp, tâm đường tròn ngoại tiếp và đường tròn ngoại tiếp của một tam giác nhọn, không cân $A B C$. Chứng minh rằng nếu $\angle B A C=60^{\circ}$ thì tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $IHO$ nằm trên $\Omega$.
Cho $n$ là một số nguyên dương cố định. Ban đầu, $n$ số $1$ được viết trên một tấm bảng. Mỗi phút, David chọn hai số $x$ và $y$ đang viết trên bảng, xóa chúng đi và viết số $(x+y)^4$ lên bảng. Chứng minh rằng sau $n-1$ phút, số được viết trên bảng ít nhất bằng $2^{\frac{4 n^{2}-4}{3}}$.
Một tên trộm xuất phát từ điểm $x=0$ trên trục số và chạy sang trái hoặc sang phải với tốc độ không đổi. Một giờ sau, một cảnh sát di chuyển nhanh gấp đôi tên trộm xuất hiện tại điểm $x=0$. Tuy nhiên, viên cảnh sát không biết tên trộm đã chạy theo hướng nào và cũng không nhìn thấy hắn. Chứng minh rằng viên cảnh sát vẫn có thể bắt được tên trộm.