Kí hiệu $S(k)$ là tổng các chữ số của số nguyên $k$. Ta nói số nguyên $a$ có bậc $n$ nếu tồn tại dãy số nguyên $a_{0}, a_{1}, \ldots, a_{n}$ sao cho $a_{n}=a$ và $a_{i+1}=a_{i}-S\left(a_{i}\right)$ với mọi $i=0,1, \ldots, n-1$. Chứng minh rằng với mọi số nguyên $n \geqslant 1$ tồn tại số nguyên $b$ có bậc $n$ nhưng không có bậc $n+1$.
Cho $n \in \mathbb{N}^{*}$. Người ta đặt các hình chữ nhật $1 \times n$ và $n \times 1$ lên bàn cờ $2 n \times 2 n$ sao cho hai hình chữ nhật không bao giờ giao nhau và mỗi hình chữ nhật phủ đúng $n$ ô. Một tập các hình chữ nhật như vậy được gọi là bão hòa nếu không thể thêm một hình chữ nhật nào mà không giao với một hình chữ nhật đã đặt.
Tìm $k$ nhỏ nhất sao cho tồn tại một tập bão hòa gồm $k$ hình chữ nhật.
Cho $ABCD$ là một tứ giác lồi. Giả sử các đường tròn nội tiếp của các tam giác $ABC$, $BCD$, $CDA$ và $DAB$ có một điểm chung. Chứng minh rằng $ABCD$ là hình thoi.
Cho $n \geqslant 2$ và $a_{1}, \ldots, a_{n}, b_{1}, \ldots, b_{n}$ là các số thực dương. Các số $a_{i}$ đôi một phân biệt, các số $b_{i}$ cũng đôi một phân biệt. Giả sử có thể chia các $a_{i}$ thành hai tập con có cùng tổng, và cũng có thể làm như vậy với các $b_{i}$.
Chứng minh rằng tồn tại một đa giác đơn $2n$ cạnh có đúng $n$ cạnh nằm ngang và $n$ cạnh thẳng đứng, sao cho độ dài các cạnh nằm ngang chính xác là các $a_{i}$ và độ dài các cạnh thẳng đứng chính xác là các $b_{i}$.
Hai đường tròn $\omega_{1}$ và $\omega_{2}$ tiếp xúc nhau tại $S$, trong đó $\omega_{1}$ nằm bên trong $\omega_{2}$. Gọi $O$ là tâm của $\omega_{1}$. Một dây cung $[AB]$ của $\omega_{2}$ tiếp xúc với $\omega_{1}$ tại $T$. Chứng minh rằng $(AO)$, đường thẳng vuông góc với $(AB)$ tại $B$ và đường thẳng vuông góc với $(ST)$ tại $S$ đồng quy.
Cho $\Gamma$ là một đường tròn tâm $O$ và $(d)$ là một đường thẳng không cắt $\Gamma$. Gọi $P$ là hình chiếu vuông góc của $O$ lên $(d)$. Cho $Q$ là một điểm thay đổi trên đường thẳng $(d)$, và $\left(t_{1}\right)$, $\left(t_{2}\right)$ là hai tiếp tuyến của $\Gamma$ đi qua $Q$. Gọi $A$ và $B$ là hình chiếu vuông góc của $P$ lên $\left(t_{1}\right)$ và $\left(t_{2}\right)$. Chứng minh rằng giao điểm của $(AB)$ và $(OP)$ cố định khi $Q$ thay đổi.
Cho $ABCD$ là một tứ giác lồi (tức là các đường chéo của nó nằm bên trong $ABCD$), và $P$ là giao điểm của hai đường chéo $[AC]$ và $[BD]$. Gọi $O_1, O_2, O_3$ và $O_4$ lần lượt là tâm các đường tròn ngoại tiếp của các tam giác $ABP$, $BCP$, $CDP$ và $DAP$.
Chứng minh rằng $O_1O_2O_3O_4$ là hình bình hành.
Cho $n \geqslant 2$. Người ta đặt một quân cờ lên mỗi ô của bàn cờ $n \times n$. Một nước đi là chuyển mỗi quân cờ sang một ô chạm vào ô xuất phát của nó tại đúng một đỉnh (nhiều quân cờ có thể cùng nằm trên một ô).
Số nguyên $k$ nhỏ nhất sao cho có thể xảy ra là sau một số nước đi nào đó, chỉ có $k$ ô chứa ít nhất một quân cờ là bao nhiêu?
Cho $n \geqslant 3$ là một số nguyên và $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$ là các số thực.
a. Giả sử $a_{i} \lt \max \left(a_{i-1}, a_{i+1}\right)$ với mọi $i \in\{2,3, \ldots, n-1\}$. Chứng minh rằng $a_{i} \lt \max \left(a_{1}, a_{n}\right)$ với mọi $i \in\{2,3, \ldots, n-1\}$.
b. Giả sử $a_{i} \leqslant \max \left(a_{i-1}, a_{i+1}\right)$ với mọi $i \in\{2,3, \ldots, n-1\}$. Có đúng là $a_{i} \leqslant \max \left(a_{1}, a_{n}\right)$ với mọi $i \in\{2,3, \ldots, n-1\}$ không?
Lưu ý. Nếu $x$ và $y$ là hai số thực thì $\max (x, y)$ kí hiệu số lớn hơn trong hai số.
Cho $A$ là một tập gồm 13 số nguyên nằm giữa 1 và 37. Chứng minh rằng tồn tại bốn số đôi một phân biệt trong $A$ sao cho tổng của hai số trong chúng bằng tổng của hai số còn lại.
Cho $ABC$ là một tam giác, $H$ là trực tâm của nó, và $P$, $Q$, $R$ là chân các đường cao kẻ từ $A$, $B$, $C$.
Chứng minh rằng $H$ là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác $PQR$.
Bảy chú lùn có chiều cao đôi một khác nhau. Họ đi đến mỏ thành một hàng theo một thứ tự nào đó sao cho chú lùn đứng đầu cao hơn chú thứ hai, chú thứ hai thấp hơn chú thứ ba, chú thứ ba cao hơn chú thứ tư, và cứ tiếp tục như vậy...
Cho $A B C D$ là một tứ giác lồi. Gọi $P, Q, R$ và $S$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $[A B],[B C],[C D]$ và $[D A]$. Chứng minh rằng diện tích của $PQRS$ bằng một nửa diện tích của $A B C D$.
Cho $n$ và $k$ là các số nguyên dương. Có $n k$ vật (cùng kích thước) và $k$ chiếc hộp, mỗi hộp chứa được $n$ vật. Mỗi vật được tô bằng một trong $k$ màu có thể. Chứng minh rằng có thể xếp các vật vào các hộp sao cho mỗi hộp chứa các vật có nhiều nhất 2 màu khác nhau.
Một số nguyên dương $n$ được gọi là thú vị nếu với mọi ước dương $d$ của $n$, số nguyên $d+2$ là số nguyên tố. Xác định tất cả các số thú vị có số ước lớn nhất.
Cho $ABC$ là một tam giác không cân. Gọi $\omega$ là đường tròn nội tiếp và $I$ là tâm của nó. Gọi $M, N, P$ là các tiếp điểm của $\omega$ với các cạnh $[BC], [CA], [AB]$. Gọi $J$ là giao điểm của $(MN)$ và $(IC)$. Đường thẳng $(PJ)$ cắt lại $\omega$ tại $K$. Chứng minh rằng
