Câu hỏi 7
Alice chơi trò chơi một người sau trên bàn cờ $20\times20$. Ban đầu, cô đặt 100 đồng xu một cent (penny), 100 đồng xu năm cent (nickel), 100 đồng xu mười cent (dime) và 100 đồng xu hai mươi lăm cent (quarter) lên bàn sao cho mỗi ô trong 400 ô chứa đúng một đồng xu. Sau đó cô chọn 59 đồng xu và lấy chúng khỏi bàn. Từ đó, cô lần lượt lấy từng đồng xu theo các quy tắc sau:
- Chỉ được lấy một đồng penny nếu cả bốn ô trên bàn kề với ô của nó (trên, dưới, trái, phải) đều trống (không chứa đồng xu). Các ô “ngoài bàn cờ” không được tính vào bốn ô này: chẳng hạn, một ô ở mép bàn nhưng không ở góc chỉ có ba ô kề, nên đồng penny tại đó không thể được lấy theo quy tắc này, ngay cả khi cả ba ô kề đều trống.
- Chỉ được lấy một đồng nickel nếu có ít nhất ba ô trống kề với ô của nó. (Một lần nữa, các ô “ngoài bàn cờ” không được tính.)
- Chỉ được lấy một đồng dime nếu có ít nhất hai ô trống kề với ô của nó (các ô “ngoài bàn cờ” không được tính).
- Chỉ được lấy một đồng quarter nếu có ít nhất một ô trống kề với ô của nó (các ô “ngoài bàn cờ” không được tính).
Alice thắng nếu cuối cùng cô lấy được tất cả các đồng xu. Chứng minh rằng cô không thể thắng.
- Chỉ được lấy một đồng penny nếu cả bốn ô trên bàn kề với ô của nó (trên, dưới, trái, phải) đều trống (không chứa đồng xu). Các ô “ngoài bàn cờ” không được tính vào bốn ô này: chẳng hạn, một ô ở mép bàn nhưng không ở góc chỉ có ba ô kề, nên đồng penny tại đó không thể được lấy theo quy tắc này, ngay cả khi cả ba ô kề đều trống.
- Chỉ được lấy một đồng nickel nếu có ít nhất ba ô trống kề với ô của nó. (Một lần nữa, các ô “ngoài bàn cờ” không được tính.)
- Chỉ được lấy một đồng dime nếu có ít nhất hai ô trống kề với ô của nó (các ô “ngoài bàn cờ” không được tính).
- Chỉ được lấy một đồng quarter nếu có ít nhất một ô trống kề với ô của nó (các ô “ngoài bàn cờ” không được tính).
Alice thắng nếu cuối cùng cô lấy được tất cả các đồng xu. Chứng minh rằng cô không thể thắng.