Đa thức $P(x,y)$ thỏa với mọi số nguyên $n\ge0$, mỗi $P(n,y),P(x,n)$ hoặc là đa thức 0 hoặc có bậc không quá n. $P(x,x)$ có thể có bậc lẻ không? Cả sách và bản chính thức đều gồm n=0. Sách ghi “hằng số khác 0” tại chỗ bản chính thức ghi “đa thức 0”; ảnh hưởng của cách viết này được xét dưới đây.
Trong tam giác nhọn ABC, các điểm trong cạnh A′∈BC,B′∈CA,C′∈AB cho ba đường AA′,BB′,CC′ đồng quy tại P trong tam giác. Trong mỗi đường tròn đường kính là một đường ấy, kẻ dây qua P vuông góc đường kính. Ba dây bằng nhau. Chứng minh P là trực tâm ABC.
Có 100 đồng nhìn giống nhau: vàng 3 g, bạc 2 g, đồng 1 g, mỗi loại ít nhất một đồng. Dùng cân đĩa không quả cân ngoài, xác định loại mọi đồng trong không quá 101 lần cân.
Dãy dương tăng nghiêm $(a_i)_{i\in\mathbb Z}$ vô hạn hai phía. Với mỗi k dương, b_k là số nguyên nhỏ nhất chặn trên tỉ số tổng k số hạng liên tiếp bất kỳ với số lớn nhất trong chúng. Chứng minh hoặc b_k=k với mọi k, hoặc dãy b_k không đổi từ một lúc nào đó.
Điểm M trong tứ giác lồi ABCD cách đều hai đường AB,CD và cũng cách đều hai đường BC,AD. Diện tích tứ giác bằng $MA\cdot MC+MB\cdot MD$. Chứng minh ABCD (a) nội tiếp đường tròn; (b) ngoại tiếp đường tròn.
Khối lập phương gồm $(2N)^3$ khối đơn vị bị xuyên bởi các kim song song cạnh, mỗi kim qua đúng 2 N khối. Mỗi khối đơn vị có ít nhất một kim xuyên. Tập kim chính quy nếu không hai kim qua cùng khối đơn vị. (a) Chứng minh có tập chính quy 2 N² kim dùng nhiều nhất hai hướng. (b) Tìm cỡ lớn nhất luôn bảo đảm có. Đề chính thức ghi “nhiều nhất hai hướng”; lời sách kém rõ hơn.
Một số số nguyên từ 1 đến n tô đỏ. Nếu a,b,c đỏ (không cần phân biệt) và $n\mid a(b-c)$ thì b=c. Chứng minh có không quá $\varphi(n)$ số đỏ, với $\varphi(n)$ đếm số nguyên dương không quá n nguyên tố cùng nhau với n. Định nghĩa chính thức dùng “không quá n”; sách ghi “nhỏ hơn n”, khác tại n=1.