Độ phức tạp của số nguyên $n\gt 1$ là số thừa số trong phân tích nguyên tố, đếm cả số lần xuất hiện; ví dụ 4 và 6 đều có độ phức tạp 2. Tìm mọi $n$ sao cho mọi số nguyên $m$ nằm giữa và khác hai đầu mút $n$ và $2n$ có độ phức tạp (a) không lớn hơn độ phức tạp của $n$; (b) nhỏ hơn độ phức tạp của $n$. Điểm gốc:2+2.
Hai tam giác nhọn $ABC,A_1B_1C_1$ thỏa $B_1,C_1\in BC$ và $A_1$ nằm trong $ABC$. Diện tích tương ứng là $S,S_1$. Chứng minh $\frac{S}{AB+AC}\gt \frac{S_1}{A_1B_1+A_1C_1}$.
Có 100 đồng xu trông giống nhau, gồm vàng, bạc và đồng, mỗi loại ít nhất một. Khối lượng tương ứng là 3,2,1 gam. Hãy xác định loại từng đồng bằng không quá 101 phép cân đĩa, không dùng quả cân.
Tam giác $ABC$ có tâm ngoại tiếp $O$. Hạ các đường vuông góc $OP,OQ$ đến phân giác trong và ngoài của góc $B$. Chứng minh đường $PQ$ chia đôi đoạn nối trung điểm của $CB$ và $AB$.
Cặp số nguyên dương phân biệt $(m,n)$ được gọi là tốt nếu $mn$ và $(m+1)(n+1)$ là số chính phương. Chứng minh với mọi số nguyên dương $m$ có $n\gt m$ tạo thành cặp tốt.
Peter ban đầu có vài tờ 100 rúp, không có tiền khác. Giá sách là số nguyên dương; tiền thừa nhận bằng đồng 1 rúp. Sách đắt (ít nhất 100 rúp) được mua bằng số tờ 100 rúp ít nhất cần thiết. Sách rẻ (dưới 100 rúp) được mua bằng xu nếu đủ, nếu không thì bằng một tờ 100 rúp. Khi hết tiền giấy, Peter đã tiêu đúng nửa số tiền ban đầu. Có thể đã tiêu ít nhất 5000 rúp không? (Bản tiếng Anh chính thức dùng đô la, bản Việt dùng rúp; phép tính không đổi.)
Peter có con tem gỗ hình vuông chia thành các ô vuông nhỏ. Bạn tô đen 102 ô và đóng tem 100 lần lên giấy trắng, mỗi lần in đúng 102 ô ấy. Có thể thu được hình vuông 101 nhân 101 với mọi ô đen trừ một ô ở góc không?
