Một nhà ảo thuật đặt bộ bài đủ 52 lá thành một hàng và thông báo rằng sau 51 lần loại bài, chỉ còn lá Ba Chuồn. Mỗi lượt, một khán giả chọn số thứ tự hợp lệ; nhà ảo thuật được chọn đếm số đó từ đầu trái hay đầu phải rồi bỏ lá tương ứng. Lá Ba Chuồn phải ở vị trí ban đầu nào để nhà ảo thuật chắc chắn thành công?
Bắt đầu với số 1 trên bảng, mỗi lần thay số nguyên hiện tại $x$ bằng $3x+1$ hoặc $\lfloor x/2\rfloor$, là số nguyên lớn nhất không vượt $x/2$. Chứng minh có thể thu được mọi số nguyên dương.
Trong một đa giác, hai cạnh liên tiếp bất kỳ vuông góc. Hai đỉnh gọi là không thân thiện nếu hai đường phân giác góc tại chúng vuông góc. Chứng minh mỗi đỉnh có số đỉnh không thân thiện với nó là số chẵn.
Có một quân trong mỗi ô của 100 ô liên tiếp. Đổi hai quân kề nhau tốn 1 đô la; đổi hai quân mà giữa chúng có đúng bốn quân khác thì miễn phí. Cần ít nhất bao nhiêu đô la để đảo ngược thứ tự? Nhập số đô la.
