Một nhà ảo thuật đặt bộ bài đủ 52 lá thành một hàng và thông báo rằng sau 51 lần loại bài, chỉ còn lá Ba Chuồn. Mỗi lượt, một khán giả chọn số thứ tự hợp lệ; nhà ảo thuật được chọn đếm số đó từ đầu trái hay đầu phải rồi bỏ lá tương ứng. Lá Ba Chuồn phải ở vị trí ban đầu nào để nhà ảo thuật chắc chắn thành công?
Cho đường tròn $\omega$ tâm $O$ và hai điểm phân biệt $A,C$ trên đó. Với điểm $P$ bất kỳ trên $\omega$, khác $A,C$, gọi $X,Y$ lần lượt là trung điểm của $AP,CP$. Gọi $H$ là trực tâm của tam giác $OXY$. Chứng minh vị trí của $H$ không phụ thuộc việc chọn $P$.
Có 100 ô liên tiếp, mỗi ô chứa một quân. Đổi hai quân ở hai ô kề nhau tốn 1 đô la; đổi hai quân mà giữa chúng có đúng ba quân khác thì miễn phí. Cần ít nhất bao nhiêu đô la để đảo ngược thứ tự tất cả các quân? Nhập số đô la.
Cho một nghìn số nguyên $a_1,\ldots,a_{1000}$. Viết các bình phương của chúng trên một vòng tròn. Tổng của 41 số liên tiếp bất kỳ trên vòng tròn chia hết cho $41^2$. Có thể kết luận mỗi $a_i$ đều chia hết cho 41 hay không?
Basil có vô hạn gạch $1\times1\times3$ và gạch hình chữ L (nguồn ký hiệu hình $\Gamma$), mỗi viên gồm ba khối lập phương đơn vị. Bạn ấy đã lấp đầy một hộp $m\times n\times k$ bằng các viên gạch ấy, với $m,n,k$ nguyên lớn hơn 1. Chứng minh có thể lấp đầy chính hộp đó chỉ bằng các viên chữ L.
