IMO 1966 - Tuyển chọn danh sách dài có ghi rõ năm (53-57)

(USS, 1966) Chứng minh rằng trong mọi lục giác lồi có diện tích $S$, có thể kẻ một đường chéo cắt ra một tam giác có diện tích không vượt quá $\frac16 S$.

(USS, 1966) Tìm hai chữ số tận cùng của tổng các lũy thừa bậc tám của $100$ số nguyên liên tiếp.

(USS, 1966) Cho đỉnh $A$ và trọng tâm $M$ của tam giác $ABC$. Tìm quỹ tích các đỉnh $B$ sao cho mọi góc của tam giác đều thuộc khoảng $[40^\circ,70^\circ]$.

(USS, 1966) Cho tứ diện $ABCD$ thỏa mãn $AB\perp CD$, $AC\perp BD$ và $AD\perp BC$. Chứng minh rằng trung điểm các cạnh của tứ diện cùng nằm trên một mặt cầu.

(USS, 1966) Có thể chọn một tập gồm $100$ (hoặc $200$) điểm trên mặt biên của một hình lập phương sao cho tập này bất biến qua mọi phép đẳng cự biến hình lập phương thành chính nó hay không? Hãy giải thích.