IMO 1959–1966 - Longlist (chưa xác định năm riêng của từng bài)

(CZS) Cho $n>3$ điểm trên mặt phẳng, không có ba điểm nào thẳng hàng. Có nhất thiết tồn tại một đường tròn đi qua ít nhất ba điểm đã cho và không chứa điểm nào khác đã cho ở bên trong hay không?

(GDR) Cho $n$ số thực dương $a_1,a_2,\ldots,a_n$ thỏa mãn $a_1a_2\cdots a_n=1$, chứng minh rằng
$$(1+a_1)(1+a_2)\cdots(1+a_n)\ge2^n.$$

(BUL) Một lăng trụ tam giác đều có chiều cao $h$ và cạnh đáy dài $a$. Hai đáy đều có lỗ nhỏ ở tâm, và mặt trong của ba mặt bên thẳng đứng là các mặt gương. Ánh sáng đi vào qua lỗ nhỏ ở đáy trên, phản xạ trên mỗi mặt bên đúng một lần rồi đi ra qua lỗ ở đáy dưới. Tìm góc mà tia sáng đi vào và độ dài đường đi của nó bên trong lăng trụ.

(POL) Cho năm điểm trên mặt phẳng, không có ba điểm nào thẳng hàng. Chứng minh rằng có bốn điểm trong số đó tạo thành một tứ giác lồi.

(USS) Chứng minh bất đẳng thức
$$\tan\frac{\pi\sin x}{4\sin\alpha}+\tan\frac{\pi\cos x}{4\cos\alpha}>1$$
với mọi $x,\alpha$ thỏa mãn $0\le x\le\pi/2$ và $\pi/6\lt y\lt \pi/3$.

(USS) Cho một đa giác phẳng lồi $\mathcal M$ có chu vi $l$ và diện tích $S$. Gọi $M(R)$ là tập hợp mọi điểm trong không gian nằm trong phạm vi khoảng cách không quá $R$ đến một điểm nào đó của $\mathcal M$. Chứng minh rằng thể tích $V(R)$ của tập này bằng
$$V(R)=\frac43\pi R^3+\frac\pi2 lR^2+2SR.$$

(USS) Với những cách bố trí nào của hai trụ tròn vô hạn thì giao của chúng nằm trong một mặt phẳng?

(USS) Có một túi đường, một cân hai đĩa và một quả cân 1 gam. Làm thế nào lấy được 1 kilôgam đường với số lần cân ít nhất có thể?

(ROM) Tìm $x$ sao cho
$$\frac{\sin3x\cos(60^\circ-4x)+1}{\sin(60^\circ-7x)-\cos(30^\circ+x)+m}=0,$$
trong đó $m$ là một số thực cố định.

(GDR) Phương trình $x=1964\sin x-189$ có bao nhiêu nghiệm thực?

(CZS) Có tồn tại số nguyên $z$ viết được theo hai cách khác nhau dưới dạng $z=x!+y!$, trong đó $x,y$ là các số tự nhiên thỏa mãn $x\le y$ hay không?

(BUL) Tìm các chữ số $x,y,z$ sao cho đẳng thức $$\sqrt{\underbrace{\overline{xx\cdots x}}_{2n}-\underbrace{\overline{yy\cdots y}}_n}=\underbrace{\overline{zz\cdots z}}_n$$ đúng với ít nhất hai giá trị $n\in\mathbb N$, và trong trường hợp đó tìm tất cả các giá trị $n$ làm đẳng thức đúng.

(YUG) Cho $a_1,a_2,\ldots,a_n$ là các số thực dương. Chứng minh bất đẳng thức $$\binom n2\sum_{i<j}\frac1{a_i a_j}\ge4\left(\sum_{i<j}\frac1{a_i+a_j}\right)^2$$ và tìm điều kiện của các số $a_i$ để dấu bằng xảy ra.

(POL) Tính số miền lớn nhất có thể chia một hình tròn thành bằng cách nối $n$ điểm trên đường tròn biên của nó.

(POL) Các điểm $A,B,C,D$ nằm trên một đường tròn sao cho $AB$ là đường kính còn $CD$ thì không. Nếu các tiếp tuyến tại $C$ và $D$ gặp nhau tại $P$, còn $AC$ và $BD$ gặp nhau tại $Q$, hãy chứng minh $PQ$ vuông góc với $AB$.

(CZS) Cho đường tròn $K$ có tâm $S$ và bán kính $1$, cùng hình vuông $Q$ có tâm $M$ và cạnh $2$. Gọi $XY$ là cạnh huyền của tam giác vuông cân $XYZ$. Mô tả quỹ tích các điểm $Z$ khi $X$ chạy trên $K$ và $Y$ chạy trên biên của $Q$.

(ROM) Giả sử $ABCD$ và $A^\prime B^\prime C^\prime D^\prime$ là hai hình bình hành được đặt tùy ý trong không gian, và các điểm $M,N,P,Q$ lần lượt chia các đoạn $AA^\prime,BB^\prime,CC^\prime,DD^\prime$ theo cùng một tỉ số.

(a) Chứng minh $MNPQ$ là hình bình hành;

(b) Tìm quỹ tích của $MNPQ$ khi $M$ chạy trên đoạn $AA^\prime$.

(HUN) Giải phương trình $\frac1{\sin x}+\frac1{\cos x}=\frac1p$, trong đó $p$ là tham số thực. Xét những giá trị $p$ để phương trình có ít nhất một nghiệm thực và xác định số nghiệm trong $[0,2\pi)$ với mỗi $p$ đã cho.

(HUN) Dựng một tam giác khi biết ba bán kính đường tròn bàng tiếp.

(HUN) Cho ba hình chữ nhật bằng nhau có cùng tâm, nằm trong ba mặt phẳng đôi một vuông góc, và các cạnh dài của chúng cũng đôi một vuông góc. Xét đa diện có các đỉnh là các đỉnh của những hình chữ nhật này.

(a) Tìm thể tích của đa diện này;

(b) đa diện này có thể đều hay không, và với điều kiện nào?