Với $-1 \lt r \lt 1,$ đặt $S(r)$ biểu thị tổng của chuỗi hình học $$
12 + 12r + 12r^2 + 12r^3 + \cdots.
$$ Đặt $a$ giữa $-1$ và $1$ thỏa mãn $S(a)S(-a) = 2016.$ Tìm $S(a) + S(-a).$
Hai viên xúc xắc dường như là xúc xắc tiêu chuẩn với các mặt được đánh số từ $1$ đến $6,$ nhưng mỗi xúc xắc có trọng số sao cho xác suất của việc tung số $k$ tỷ lệ thuận với $k.$ xác suất của việc tung một $7$ với cặp này xúc xắc là $\frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tìm $m + n.$
*Khối hai mươi mặt đều* là một khối có mặt $20$ trong đó mỗi mặt là một tam giác đều và năm hình tam giác gặp nhau ở mỗi đỉnh. Khối hai mươi mặt đều được hiển thị bên dưới có một đỉnh ở trên, một đỉnh ở dưới, một hình ngũ giác phía trên gồm năm đỉnh, tất cả đều liền kề với đỉnh trên và tất cả đều nằm trong cùng một mặt phẳng ngang, và một hình ngũ giác phía dưới gồm năm đỉnh, tất cả đều liền kề với đỉnh dưới và tất cả đều nằm trong một mặt phẳng ngang khác. Tìm số đường đi từ đỉnh trên đến đỉnh dưới sao cho mỗi phần của đường đi đi xuống hoặc nằm ngang dọc theo một cạnh của khối hai mươi mặt và không có đỉnh nào lặp lại.
Một lăng trụ đứng có chiều cao $h$ có đáy là các hình lục giác đều có cạnh dài $12.$ Một đỉnh $A$ của lăng kính và ba đỉnh liền kề của nó là các đỉnh của một hình chóp tam giác. Góc nhị diện (góc giữa hai mặt phẳng) được tạo bởi mặt của hình chóp nằm trong đáy lăng kính và mặt của hình chóp không chứa $A$ có số đo $60^\circ.$ Tìm $h^2.$
Anh đọc sách. Vào ngày đầu tiên, cô ấy đọc $n$ trang trong $t$ phút, trong đó $n$ và $t$ là số nguyên dương. Vào ngày thứ hai Anh đọc trang $n + 1$ trong $t + 1$ phút. Mỗi ngày sau đó, Ánh đọc nhiều hơn ngày hôm trước một trang và em phải mất thêm một phút so với ngày hôm trước để đọc hết trang $374$. Cô ấy đã mất tổng cộng $319$ phút để đọc cuốn sách. Tìm $n + t.$
Trong $\triangle ABC$ đặt $I$ là tâm của đường tròn nội tiếp và đặt đường phân giác của $\angle ACB$ cắt $\overline{AB}$ tại $L.$ Đường thẳng qua $C$ và $L$ cắt đường tròn ngoại tiếp của $\triangle ABC$ tại hai điểm $C$ và $D.$ Nếu $LI = 2$ và $LD = 3,$ thì $IC = \frac{p}{q},$ trong đó $p$ và $q$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tìm $p + q.$
Đối với số nguyên $a$ và $b$ hãy xét số phức $$
\frac{\sqrt{ab + 2016}}{ab + 100} - \left(\frac{\sqrt{|a + b|}}{ab + 100}\right)i.
$$ Tìm số cặp số nguyên có thứ tự $(a, b)$ sao cho số phức này là số thực.
Đối với hoán vị $p = (a_1, a_2, \ldots, a_9)$ của các chữ số $1,$ $2,$ $\ldots,$ $9,$ hãy để $s(p)$ biểu thị tổng của ba số $3$-chữ số $a_1a_2a_3,$ $a_4a_5a_6,$ và $a_7a_8a_9.$ Đặt $m$ là giá trị tối thiểu của $s(p)$ với điều kiện chữ số hàng đơn vị của $s(p)$ là $0.$ Đặt $n$ biểu thị số lượng hoán vị $p$ với $s(p) = m.$ Tìm $|m - n|.$
Tam giác $ABC$ có $AB = 40,$ $AC = 31,$ và $\sin A = \frac{1}{5}.$ Tam giác này nội tiếp trong hình chữ nhật $AQRS$ với $B$ trên $\overline{QR}$ và $C$ trên $\overline{RS}.$ Tìm giá trị lớn nhất có thể diện tích của $AQRS.$
Một dãy số nguyên dương tăng dần $a_1,$ $a_2,$ $a_3,$ $\ldots$ có tính chất là với mọi số nguyên dương $k,$ thì dãy con $a_{2k-1},$ $a_{2k},$ $a_{2k+1}$ là dãy số hình học và dãy con $a_{2k},$ $a_{2k+1},$ $a_{2k+2}$ là số học. Giả sử rằng $a_{13} = 2016.$ Tìm $a_1.$
Giả sử $P(x)$ là một đa thức khác 0 sao cho $(x - 1)P(x + 1) = (x + 2)P(x)$ với mọi số thực $x,$ và $\left(P(2)\right)^2 = P(3).$ Khi đó $P\left(\tfrac{7}{2}\right) = \tfrac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương tương đối nguyên tố. Tìm $m + n.$
Chú ếch Freddy đang nhảy quanh mặt phẳng tọa độ để tìm kiếm một con sông nằm trên đường ngang $y = 24.$ Một hàng rào nằm ở đường ngang $y = 0.$ Trong mỗi lần nhảy, Freddy chọn ngẫu nhiên một hướng song song với một trong các trục tọa độ và di chuyển một đơn vị theo hướng đó. Khi anh ta ở điểm mà $y = 0,$ có khả năng bằng nhau, anh ta chọn một trong ba hướng trong đó anh ta nhảy song song với hàng rào hoặc nhảy ra khỏi hàng rào, nhưng anh ta không bao giờ chọn hướng sẽ đưa anh ta vượt qua hàng rào đến nơi $y \lt 0.$ Freddy bắt đầu tìm kiếm tại điểm $(0, 21)$ và sẽ dừng lại khi anh ta đến một điểm trên sông. Tìm số lần nhảy dự kiến của Freddy để đến được sông.
Tâm của mỗi điểm mạng trong mặt phẳng tọa độ là một hình tròn có bán kính $\frac{1}{10}$ và một hình vuông có các cạnh có chiều dài $\frac{1}{5}$ có các cạnh song song với các trục tọa độ. Đoạn thẳng từ $(0, 0)$ đến $(1001, 429)$ cắt $m$ của hình vuông và $n$ của hình tròn. Tìm $m + n.$
Các đường tròn $\omega_1$ và $\omega_2$ cắt nhau tại các điểm $X$ và $Y.$ Đường thẳng $\ell$ tiếp tuyến với $\omega_1$ và $\omega_2$ tại $A$ và $B,$ tương ứng, với đường thẳng $AB$ gần điểm $X$ hơn so với $Y.$ Đường tròn $\omega$ đi qua $A$ và $B$ cắt nhau $\omega_1$ tại $D \ne A$ và cắt nhau $\omega_2$ lại tại $C \ne B.$ Ba điểm $C,$ $Y,$ $D$ thẳng hàng, $XC = 67,$ $XY = 47,$ và $XD = 37.$ Tìm $AB^2.$
