Câu hỏi 15
Với $1 \le i \le 215$ đặt $a_i = \frac{1}{2^i}$ và $a_{216} = \frac{1}{2^{215}}.$ Đặt $x_1,$ $x_2,$ $\ldots,$ $x_{216}$ là các số thực dương sao cho $$
\sum_{i=1}^{216} x_i = 1
$$ và $$
\begin{aligned} &\sum_{1 \le i \lt j \le 216} x_i x_j \\ &= \frac{107}{215} \\ &\quad {}+ \sum_{i=1}^{216} \frac{a_i x_i^2}{2(1 - a_i)}. \end{aligned}
$$ Giá trị tối đa có thể có của $x_2 = \frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tìm $m + n.$
\sum_{i=1}^{216} x_i = 1
$$ và $$
\begin{aligned} &\sum_{1 \le i \lt j \le 216} x_i x_j \\ &= \frac{107}{215} \\ &\quad {}+ \sum_{i=1}^{216} \frac{a_i x_i^2}{2(1 - a_i)}. \end{aligned}
$$ Giá trị tối đa có thể có của $x_2 = \frac{m}{n},$ trong đó $m$ và $n$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tìm $m + n.$