AIME I năm 2007

Có bao nhiêu bình phương dương nhỏ hơn $10^6$ là bội số của $24?$

Lối đi di chuyển dài $100$ foot di chuyển với tốc độ không đổi $6$ foot mỗi giây. Al bước lên đầu lối đi và đứng dậy. Bob bước lên đầu lối đi hai giây sau đó và đi về phía trước dọc theo lối đi với tốc độ không đổi $4$ feet mỗi giây. Hai giây sau đó, Cy đến đầu lối đi và bước nhanh về phía trước bên cạnh lối đi với tốc độ không đổi $8$ feet mỗi giây. Tại một thời điểm nhất định, một trong ba người này ở chính xác giữa hai người còn lại. Vào thời điểm đó, hãy tìm khoảng cách tính bằng feet giữa điểm bắt đầu của lối đi và người ở giữa.

Số phức $z$ bằng $9 + bi,$ trong đó $b$ là số thực dương và $i^2 = -1.$ Cho rằng phần ảo của $z^2$ và $z^3$ bằng nhau, hãy tìm $b.$

Ba hành tinh quay quanh một ngôi sao theo quỹ đạo tròn đồng phẳng với ngôi sao ở trung tâm. Tất cả các hành tinh đều quay theo cùng một hướng, mỗi hành tinh có tốc độ không đổi và chu kỳ quỹ đạo của chúng là $60,$ $84,$ và $140$ năm. Vị trí của ngôi sao và cả ba hành tinh hiện nay thẳng hàng. Tiếp theo, chúng sẽ thẳng hàng sau $n$ năm. Tìm $n.$

Công thức chuyển đổi nhiệt độ Fahrenheit $F$ thành nhiệt độ độ C tương ứng $C$ là $C = \frac{5}{9}(F - 32).$ Một nhiệt độ nguyên Fahrenheit được chuyển đổi thành độ C và làm tròn đến số nguyên gần nhất; nhiệt độ số nguyên kết quả được chuyển đổi trở lại độ F và được làm tròn đến số nguyên gần nhất. Với bao nhiêu nhiệt độ nguyên Fahrenheit $T$ với $32 \le T \le 1000$ thì nhiệt độ ban đầu bằng nhiệt độ cuối cùng?

Một con ếch được đặt ở gốc trên trục số và di chuyển theo quy tắc sau: trong một nước đi nhất định, con ếch tiến tới điểm gần nhất có tọa độ nguyên lớn hơn là bội số của $3,$ hoặc đến điểm gần nhất có tọa độ nguyên lớn hơn là bội số của $13.$ *Chuỗi di chuyển* là một chuỗi tọa độ tương ứng với các bước di chuyển hợp lệ, bắt đầu bằng $0,$ và kết thúc bằng $39.$ Ví dụ: $0,$ $3,$ $6,$ $13,$ $15,$ $26,$ $39$ là một chuỗi di chuyển. Con ếch có thể thực hiện bao nhiêu chuỗi chuyển động?

Giả sử $$
\begin{aligned} N &= \sum_{k=1}^{1000} k \\ &\quad {}\cdot \left(\lceil \log_{\sqrt{2}} k \rceil - \lfloor \log_{\sqrt{2}} k \rfloor\right). \end{aligned}
$$ Tìm số dư khi $N$ chia cho $1000.$ (Ở đây $\lfloor x \rfloor$ biểu thị số nguyên lớn nhất nhỏ hơn hoặc bằng $x,$ và $\lceil x \rceil$ biểu thị số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng $x.$)

Đa thức $P(x)$ là bậc ba. Giá trị lớn nhất của $k$ mà đa thức $Q_1(x) = x^2 + (k - 29)x - k$ và $Q_2(x) = 2x^2 + (2k - 43)x + k$ đều là thừa số của $P(x)?$

Trong tam giác vuông $ABC$ với góc vuông $C,$ $CA = 30$ và $CB = 16.$ Chân của nó $\overline{CA}$ và $\overline{CB}$ được mở rộng ra ngoài Điểm $A$ và $B.$ $O_1$ và $O_2$ nằm ở bên ngoài tam giác và là tâm của hai đường tròn có bán kính bằng nhau. Đường tròn có tâm $O_1$ tiếp xúc với cạnh huyền và phần kéo dài của cạnh $CA,$ đường tròn có tâm $O_2$ tiếp xúc với cạnh huyền và phần kéo dài của cạnh $CB,$ và các vòng tròn này tiếp xúc ngoài với nhau. Độ dài bán kính của một trong hai vòng tròn có thể được biểu thị bằng $\frac{p}{q},$ trong đó $p$ và $q$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tìm $p + q.$

Trong lưới $6 \times 4$ được hiển thị, $12$ của $24$ các ô vuông phải được tô màu sao cho có hai ô vuông được tô bóng ở mỗi hàng và ba ô vuông được tô bóng ở mỗi cột. Đặt $N$ là số lượng bóng có thuộc tính này. Tìm số dư khi $N$ được chia cho $1000.$

Với mỗi số nguyên dương $p,$ hãy để $b(p)$ biểu thị số nguyên dương duy nhất $k$ sao cho $|k - \sqrt{p}| \lt \frac{1}{2}.$ Ví dụ: $b(6) = 2$ và $b(23) = 5.$ Nếu $S = \sum_{p=1}^{2007} b(p),$ tìm số dư khi $S$ chia cho $1000.$

Trong tam giác cân $ABC,$ $A$ nằm ở gốc tọa độ và $B$ nằm ở $(20, 0).$ Điểm $C$ nằm trong góc phần tư thứ nhất với $AC = BC$ và $\angle BAC = 75^\circ.$ Nếu $\triangle ABC$ được quay ngược chiều kim đồng hồ quanh điểm $A$ cho đến khi ảnh của $C$ nằm trên trục dương $y$, diện tích của vùng chung với tam giác ban đầu và tam giác quay có dạng $p\sqrt{2} + q\sqrt{3} + r\sqrt{6} + s,$ trong đó $p,$ $q,$ $r,$ $s$ là số nguyên. Tìm $\frac{p - q + r - s}{2}.$

Hình chóp vuông có đáy $ABCD$ và đỉnh $E$ có 8 cạnh dài $4.$ Một mặt phẳng đi qua trung điểm của $\overline{AE},$ $\overline{BC},$ và $\overline{CD}.$ Giao điểm của mặt phẳng với hình chóp có diện tích có thể được biểu thị dưới dạng $\sqrt{p}.$ Tìm $p.$

Giả sử một chuỗi được xác định như sau: $a_1 = 3,$ $a_2 = 3,$ và for $n \ge 2,$ $a_{n+1}a_{n-1} = a_n^2 + 2007.$ Tìm số nguyên lớn nhất nhỏ hơn hoặc bằng $\frac{a_{2007}^2 + a_{2006}^2}{a_{2007}a_{2006}}.$

Đặt $ABC$ là một tam giác đều và đặt $D$ và $F$ lần lượt là các điểm trên các cạnh $BC$ và $AB,$ với $FA = 5$ và $CD = 2.$ Điểm $E$ nằm về phía $CA$ sao cho $\angle DEF = 60^\circ.$ diện tích của tam giác $DEF$ là $14\sqrt{3}.$ Hai giá trị có thể có của độ dài cạnh $AB$ là $p \pm q\sqrt{r},$ trong đó $p$ và $q$ là số hữu tỉ và $r$ là số nguyên không phải chia hết cho bình phương của số nguyên tố. Tìm $r.$