Xét dãy $a_1,a_2,a_3,\dots$ xác định bởi $a_1=9$ và
$$
a_{n+1}=\frac{(n+5)a_n+22}{n+3}
$$
với $n\ge1$. Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho $a_n$ là số chính phương.
Trong trò chơi Dò mìn, một số ô của bảng $a\times b$ được đặt mìn; ở mỗi ô còn lại ghi số ô kề nó có chứa mìn. Hai ô được coi là kề nhau nếu có chung một đỉnh. Với những giá trị nào của $k\in\{0,1,2,3,4,5,6,7,8\}$, ta có thể chọn $a,b$ với $ab\gt2021$ và tạo một bảng mà mọi ô đều có mìn, ngoại trừ đúng $2021$ ô đều được ghi số $k$?
Gọi $F$ là tập tất cả các dãy $(a_1,a_2,\dots,a_{2020})$ với $a_i\in\{-1,1\}$, $i=1,2,\dots,2020$. Chứng minh rằng tồn tại tập $S\subset F$, $|S|=2020$, sao cho với mỗi $(a_1,a_2,\dots,a_{2020})\in F$, có một dãy $(b_1,b_2,\dots,b_{2020})\in S$ thỏa mãn $\sum_{i=1}^{2020}a_ib_i=0$.
Cho tam giác $ABC$ không cân, có tâm nội tiếp $I$ và đường tròn ngoại tiếp bán kính $R$. Đường thẳng $AL$ là phân giác ngoài của $\angle BAC$, với $L\in BC$. Gọi $K$ là điểm trên đường trung trực của $BC$ sao cho $IL\perp IK$. Chứng minh rằng $OK=3R$.
Cho tam giác nhọn $ABC$ với $AB\lt AC$, nội tiếp đường tròn $(O)$. Gọi $I$ là tâm nội tiếp; $D,E$ lần lượt là giao điểm của $AI$ với $BC$ và giao điểm thứ hai của $AI$ với $(O)$. Lấy $K$ trên đường thẳng $BC$ sao cho $\angle AIK=90^\circ$. Các đường thẳng $KA,KE$ lần lượt cắt lại $(O)$ tại $M,N$. Các tia $ND,NI$ cắt lại $(O)$ tại $Q,P$.
**Phần 1.** Chứng minh tứ giác $MPQE$ là hình diều.
**Phần 2.** Lấy $J$ trên đường thẳng $IO$ sao cho $AK\perp AJ$. Đường thẳng qua $I$ vuông góc với $OI$ cắt $BC$ tại $R$, cắt $EK$ tại $S$. Chứng minh rằng $OR\parallel JS$.
Cho $n$ điểm trong không gian, không có ba điểm thẳng hàng và không có bốn điểm đồng phẳng. Nối mỗi cặp điểm bằng một đoạn thẳng. Ban đầu, tất cả các đoạn đều chưa được tô màu. Cho số nguyên dương $b$. Alice và Bob chơi như sau: trong mỗi lượt, Alice tô đỏ một đoạn, rồi Bob tô xanh nhiều nhất $b$ đoạn. Quá trình lặp lại đến khi không còn đoạn nào chưa tô màu. Alice thắng nếu tô được một tam giác đỏ. Nếu mọi đoạn đã được tô mà Alice chưa tạo được tam giác đỏ thì Bob thắng. Không ai được tô đè lên đoạn đã có màu.
**Phần 1.** Chứng minh rằng nếu $b\lt\sqrt{2n-2}-\frac32$ thì Alice có chiến lược thắng.
**Phần 2.** Chứng minh rằng nếu $b\ge2\sqrt n$ thì Bob có chiến lược thắng.
Một tập các số nguyên dương được gọi là đẹp nếu số phần tử của nó bằng trung bình cộng của các số trong tập. Một số nguyên dương $n$ được gọi là kỳ diệu nếu có thể chia tập $\{1,2,\ldots,n\}$ thành các tập con đẹp.
**Phần a.** Chứng minh mọi số chính phương dương đều là số kỳ diệu.
**Phần b.** Chứng minh có vô hạn số nguyên dương không kỳ diệu.
Cho số nguyên dương $k$. Chứng minh tồn tại số nguyên tố $p$ sao cho có thể chọn các số nguyên đôi một phân biệt $a_1,a_2,\dots,a_{k+3}\in\{1,2,\dots,p-1\}$ thỏa mãn $a_ia_{i+1}a_{i+2}a_{i+3}-i$ chia hết cho $p$ với mọi $i=1,2,3,\dots,k$.
Cho $p$ là số nguyên tố lẻ và $N=\frac14(p^3-p)-1$. Các số $1,2,\dots,N$ được tô tùy ý bằng hai màu đỏ và xanh. Với mỗi số nguyên dương $n\le N$, gọi $r(n)$ là tỉ lệ các số màu đỏ trong $\{1,2,\dots,n\}$, tức số lượng số đỏ chia cho $n$. Chứng minh tồn tại số nguyên dương $a\in\{1,2,\dots,p-1\}$ sao cho $r(n)\ne a/p$ với mọi $n=1,2,\dots,N$.
Cho đa thức không hằng $P(x)$ có hệ số nguyên và số nguyên dương $n$. Dãy $a_0,a_1,\ldots$ được xác định bởi $a_0=n$ và $a_k=P(a_{k-1})$ với $k\ge1$. Biết rằng với mỗi số nguyên dương $b$, dãy chứa một lũy thừa bậc $b$ của một số nguyên dương lớn hơn 1. Chứng minh rằng $\deg P=1$.
Cho hai tam giác vuông đồng dạng $PAB$ và $PBC$ trong cùng một mặt phẳng, với $\angle PAB=\angle PBC=90^\circ$, sao cho $A$ và $C$ nằm khác phía đối với đường thẳng $PB$. Biết $PC=AC$, hãy tính tỉ số $\dfrac{PA}{AB}$.
Cho tam giác $ABC$ có $\angle ABC\ne90^\circ$ và $AB$ là cạnh ngắn nhất. Gọi $H$ là giao điểm các đường cao của tam giác $ABC$. Gọi $K$ là đường tròn tâm $B$ đi qua $A$. Gọi $D$ là giao điểm còn lại của $K$ với $AC$. Đường tròn $K$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $BCD$ lần thứ hai tại $E$. Gọi $F$ là giao điểm của $DE$ và $BH$. Chứng minh rằng $BD$ tiếp xúc với đường tròn đi qua $D,F,H$.
Jacob và Laban luân phiên chơi một trò chơi. Ban đầu, mỗi người có một danh sách các số chính phương $1,4,9,\ldots,2021^2$, và trên bảng trước mặt họ có số $0$. Jacob chọn một số $x^2$ trong danh sách của mình, xóa số đó khỏi danh sách rồi thay số $W$ trên bảng bằng $W+x^2$. Sau đó Laban cũng làm như vậy với một số trong danh sách của mình. Hai người tiếp tục luân phiên cho đến khi cả hai danh sách đều hết số.
Mỗi lần số trên bảng chia hết cho $4$ sau lượt đi của một trong hai người, Jacob được một con cừu. Jacob muốn có càng nhiều cừu càng tốt khi trò chơi kết thúc, còn Laban muốn Jacob có càng ít cừu càng tốt. Số lớn nhất $K$ mà Jacob có thể bảo đảm nhận được ít nhất $K$ con cừu, bất kể Laban chơi thế nào, là bao nhiêu?
Cho một dãy $s$ gồm các chữ số $0$ và $1$. Với mỗi số nguyên dương $k$, gọi $v_k$ là số lần xuất hiện lớn nhất có thể của $s$ dưới dạng các chữ số liên tiếp trong một dãy gồm $k$ chữ số. Chẳng hạn, nếu $s=0110$ thì $v_7=v_8=2$: trong các dãy $0110110$ và $01101100$, đoạn liên tiếp $0110$ xuất hiện tại hai vị trí; không thể có ba cặp chữ số $1$ được bao quanh bởi chữ số $0$ trong một dãy dài $7$ hoặc $8$ chữ số.
Biết rằng $v_n\lt v_{n+1}\lt v_{n+2}$ với một số nguyên dương $n$. Chứng minh rằng mọi chữ số trong dãy $s$ đều giống nhau.