Cho $P_1P_2\ldots P_{2021}$ là đa giác lồi có 2021 đỉnh, sao cho tại mỗi đỉnh $P_i$, 2018 đường chéo xuất phát từ $P_i$ chia góc $\widehat P_i$ thành 2019 góc bằng nhau.
Chứng minh rằng $P_1P_2\ldots P_{2021}$ là đa giác đều, tức mọi góc của đa giác có cùng số đo và mọi cạnh có cùng độ dài.
Cho hàm số không giảm $f:\mathbb R\to\mathbb R$ thỏa mãn $f(y)-f(x)\lt y-x$ với mọi số thực $x,y$ sao cho $y\gt x$. Cho dãy $(u_n)_{n\geq0}$ thỏa mãn
$$
u_{n+2}=f(u_{n+1})-f(u_n)
$$
với mọi số nguyên $n\geq0$.
Chứng minh rằng $(u_n)_{n\geq0}$ hội tụ về $0$, nghĩa là với mọi số thực $\varepsilon\gt0$, tồn tại số nguyên $N$ sao cho $|u_n|\leq\varepsilon$ với mọi số nguyên $n\geq N$.
Cho tứ giác lồi $ABCD$ có các góc tại $B$ và $D$ là góc tù, còn hai góc tại $A$ và $C$ bằng nhau. Gọi $E,F$ lần lượt là các điểm đối xứng của $A$ qua các đường thẳng $BC,CD$. Gọi $K,L$ lần lượt là giao điểm của đường thẳng $BD$ với các đường thẳng $AE,AF$. Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp các tam giác $BEK$ và $DFL$ tiếp xúc nhau.
Pierre và Clara chơi trò chơi sau. Đầu tiên, Clara chọn một số nguyên $c$. Sau đó, Pierre chọn một số nguyên tố $p\geq c$ và viết hai số nguyên $a$, $b$ lên bảng. Clara được thực hiện thao tác sau: chọn một trong hai số nguyên trên bảng, gọi là $n$, xóa nó rồi thay bằng một số nguyên $m$ sao cho $p$ là ước của
$$(n^2-m+1)(m^2-n+1).$$
Clara thắng nếu sau hữu hạn thao tác như vậy, cô làm cho hai số nguyên trên bảng bằng nhau. Nếu không, cô thua và Pierre thắng.
Các dãy $(a_n)_{n\geq0}$ và $(b_n)_{n\geq0}$ được xác định bởi
$$\begin{aligned}
a_0&=0,&a_n&=2a_{\lfloor n/2\rfloor}+n&&\text{với }n\geq1,\\
b_0&=0,&b_n&=3b_{\lfloor n/3\rfloor}+n&&\text{với }n\geq1.
\end{aligned}$$
Chứng minh rằng dãy có số hạng tổng quát $2^{a_n}-3^{b_n}$ đổi dấu vô hạn lần.
Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$, tức là $AB=AC$, và điểm $D$ thuộc đoạn thẳng $BC$ sao cho $BD\neq CD$. Gọi $P$, $Q$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $D$ trên các đường thẳng $AB$, $AC$. Cuối cùng, gọi $E$ là giao điểm khác $A$ của các đường tròn ngoại tiếp $ABC$ và $APQ$.
Chứng minh rằng nếu các đường thẳng $EP$, $AC$ và đường trung trực của $PQ$ đồng quy thì tam giác $ABC$ vuông tại $A$.
Với mỗi số nguyên $k\geq0$, gọi $F_k$ là số Fibonacci thứ $k$, được xác định bởi $F_0=0$, $F_1=1$ và $F_k=F_{k-2}+F_{k-1}$ khi $k\geq2$. Cho số nguyên $n\geq2$ và một tập số nguyên $S$ có tính chất sau:
Với mỗi số nguyên $k$ thỏa mãn $2\leq k\leq n$, tập $S$ chứa hai số nguyên $x,y$ sao cho $x-y=F_k$.
Số phần tử nhỏ nhất có thể có của một tập $S$ như vậy là bao nhiêu?
Tìm số nguyên lớn nhất $n\geq 3$ sao cho tồn tại một tập hợp $\mathcal S$ gồm $n$ điểm trong mặt phẳng có tính chất sau: mọi tam giác (kể cả tam giác suy biến) có các đỉnh thuộc $\mathcal S$ đều cân nhưng không đều.
Cho số nguyên $n\geq 6$. Trong mặt phẳng có $n$ hình tròn $D_1,D_2,\ldots,D_n$ đôi một không giao nhau, với các bán kính thỏa mãn $r_1\geq r_2\geq\cdots\geq r_n$. Với mỗi số nguyên $i$ thỏa mãn $1\leq i\leq n$, lấy điểm $P_i$ ở bên trong hình tròn $D_i$. Cho $A$ là một điểm bất kỳ trong mặt phẳng. Chứng minh rằng
$$AP_1+AP_2+\cdots+AP_n\geq r_6+r_7+\cdots+r_n.$$
Ký hiệu $\mathbb R_{\gt0}$ là tập các số thực dương. Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb R_{\gt0}\to\mathbb R_{\gt0}$ sao cho
$$f(x+f(xy))+y=f(x)f(y)+1$$
với mọi số thực dương $x,y$.
Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb N_{\geq1}\to\mathbb N_{\geq0}$ thỏa mãn cả hai điều kiện:
1. $f(xy)=f(x)+f(y)$ với mọi số nguyên $x,y\geq1$;
2. có vô hạn số nguyên $n\geq1$ sao cho $f(k)=f(n-k)$ với mọi số nguyên $k$ thỏa mãn $1\leq k\leq n-1$.
Ở đây $\mathbb N_{\geq0}$ và $\mathbb N_{\geq1}$ lần lượt là tập các số nguyên không âm và tập các số nguyên dương.
Morgane viết ba số nguyên $3$, $4$, $12$ lên bảng. Sau đó cô liên tiếp thực hiện phép biến đổi: chọn hai số $a,b$ trên bảng, xóa chúng và thay bằng $(3a+4b)/5$ và $(4a-3b)/5$.
Cho tam giác $ABC$. Gọi $H_A$ là chân đường cao từ $A$, và $A'$ là trung điểm của $BC$. Gọi $Q_A$ là điểm đối xứng của $H_A$ qua $A'$. Định nghĩa tương tự các điểm $Q_B,Q_C$. Cuối cùng, gọi $R$ là giao điểm khác $Q_A$ của các đường tròn ngoại tiếp tam giác $Q_AQ_BC$ và $Q_ABQ_C$.
Cho tam giác $ABC$ có $\angle A\gt90^\circ$. Gọi $BE$ là đường phân giác của $\angle ABC$, với $E\in AC$, và $CF$ là đường phân giác của $\angle ACB$, với $F\in AB$. Đặt $BE\cap CF=\{I\}$. Biết rằng $IE=IF$, chứng minh tam giác $ABC$ cân.
Có thể tìm một đa thức không hằng $P(x,y)$ sao cho $P([\alpha],[3\alpha])=0$ với mọi số thực $\alpha$ hay không? Ở đây $[\mu]$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $\mu$.
Amelia viết một dãy các số nguyên dương liên tiếp, xóa một số rồi đảo thứ tự các số còn lại, thu được dãy dưới đây. Bạn ấy đã xóa số nào?
$$
6,12,1,3,11,10,8,15,13,9,7,4,14,5,2
$$
Đồ thị của các phương trình
$$
\begin{aligned}
y&=-x+8\\
173y&=-289x+2021
\end{aligned}
$$
trên mặt phẳng tọa độ Descartes cắt nhau tại $(a,b)$. Tìm $a+b$.
Một quân domino có đầu bên trái và đầu bên phải, mỗi đầu có một màu. Alice có bốn quân domino với màu hai đầu lần lượt là đỏ–đỏ, đỏ–xanh, xanh–đỏ và xanh–xanh. Tìm số cách xếp các quân domino thành một hàng nối đầu với nhau sao cho hai đầu kề nhau có cùng màu. Không được xoay các quân domino.