Câu hỏi 19
Cho các điểm cố định $B=(-1,0)$, $C=(1,0)$ trên mặt phẳng tọa độ. Tập con không rỗng, bị chặn $S$ của mặt phẳng gọi là tốt nếu:
(i) có $T$ trong $S$ sao cho với mọi điểm $Q$ trong $S$, đoạn $T Q$ nằm hoàn toàn trong $S$;
(ii) với mọi tam giác $P_{1} P_{2} P_{3}$, tồn tại duy nhất một điểm $A$ trong $S$ và một hoán vị $\sigma$ của các chỉ số $\{1,2,3\}$, sao cho các tam giác $A B C$, $P_{\sigma(1)} P_{\sigma(2)} P_{\sigma(3)}$ đồng dạng.
Chứng minh có hai tập con tốt khác nhau $S$, $S^{\prime}$ của tập $\{(x, y): x \geqslant 0, y \geqslant 0\}$, sao cho nếu $A \in S$, $A^{\prime} \in S^{\prime}$ là các điểm được chọn duy nhất theo (ii), thì tích $B A \cdot B A^{\prime}$ là hằng số không phụ thuộc tam giác $P_{1} P_{2} P_{3}$.
(i) có $T$ trong $S$ sao cho với mọi điểm $Q$ trong $S$, đoạn $T Q$ nằm hoàn toàn trong $S$;
(ii) với mọi tam giác $P_{1} P_{2} P_{3}$, tồn tại duy nhất một điểm $A$ trong $S$ và một hoán vị $\sigma$ của các chỉ số $\{1,2,3\}$, sao cho các tam giác $A B C$, $P_{\sigma(1)} P_{\sigma(2)} P_{\sigma(3)}$ đồng dạng.
Chứng minh có hai tập con tốt khác nhau $S$, $S^{\prime}$ của tập $\{(x, y): x \geqslant 0, y \geqslant 0\}$, sao cho nếu $A \in S$, $A^{\prime} \in S^{\prime}$ là các điểm được chọn duy nhất theo (ii), thì tích $B A \cdot B A^{\prime}$ là hằng số không phụ thuộc tam giác $P_{1} P_{2} P_{3}$.