Cho tam giác nhọn $ABC$. Gọi $D$ là một điểm trên cạnh $AB$ và $E$ là một điểm trên cạnh $AC$ sao cho các đường thẳng $BC$ và $DE$ song song. Gọi $X$ là một điểm nằm trong tứ giác $BCED$. Giả sử các tia $DX$ và $EX$ cắt cạnh $BC$ lần lượt tại $P$ và $Q$, sao cho cả $P$ và $Q$ đều nằm giữa $B$ và $C$. Giả sử đường tròn ngoại tiếp các tam giác $BQX$ và $CPX$ cắt nhau tại điểm $Y \neq X$. Chứng minh rằng ba điểm $A$, $X$, $Y$ thẳng hàng.
Xét một bảng $100 \times 100$ và đồng nhất ô ở hàng $a$, cột $b$, $1 \leq a, b \leq 100$, với cặp có thứ tự $(a, b)$. Cho $k$ là số nguyên thỏa mãn $51 \leq k \leq 99$. Một quân $k$-mã là quân cờ di chuyển một ô theo chiều dọc hoặc chiều ngang và $k$ ô theo chiều còn lại; tức là nó đi từ $(a, b)$ đến $(c, d)$ sao cho $(|a-c|,|b-d|)$ bằng $(1, k)$ hoặc $(k, 1)$. Quân $k$-mã xuất phát từ ô $(1,1)$ và thực hiện một số nước đi. Một dãy nước đi là một dãy các ô $(x_{0}, y_{0})=(1,1)$, $(x_{1}, y_{1})$, $(x_{2}, y_{2}), \ldots, (x_{n}, y_{n})$ sao cho với mọi $i=1,2, \ldots, n$, ta có $1 \leq x_{i}, y_{i} \leq 100$ và quân $k$-mã có thể đi từ $(x_{i-1}, y_{i-1})$ đến $(x_{i}, y_{i})$. Khi đó mỗi ô $(x_{i}, y_{i})$ được gọi là đến được. Với mỗi $k$, tìm $L(k)$, số ô đến được.
Cho $n$ là số nguyên dương và $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}$ là các số thực dương. Chứng minh rằng
$$
\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{2^{i}}\left(\frac{2}{1+a_{i}}\right)^{2^{i}} \geq \frac{2}{1+a_{1} a_{2} \ldots a_{n}}-\frac{1}{2^{n}} .
$$
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $t$, tồn tại duy nhất một hoán vị $a_{0}, a_{1}, \ldots, a_{t-1}$ của $0,1, \ldots, t-1$ sao cho với mọi $0 \leq i \leq t-1$, hệ số nhị thức $\binom{t+i}{2 a_{i}}$ là số lẻ và $2 a_{i} \neq t+i$.
Đường thẳng $\ell$ cắt các cạnh $B C$ và $A D$ của tứ giác nội tiếp $A B C D$ lần lượt tại các điểm trong $R$ và $S$, cắt tia $D C$ tại điểm $Q$ nằm sau điểm $C$ (ngoài đoạn $D C$), và cắt tia $B A$ tại điểm $P$ nằm sau điểm $A$ (ngoài đoạn $B A$). Đường tròn ngoại tiếp các tam giác $Q C R$ và $Q D S$ cắt nhau tại $N \neq Q$, còn đường tròn ngoại tiếp các tam giác $P A S$ và $P B R$ cắt nhau tại $M \neq P$. Gọi $X$ là giao điểm của các đường thẳng $M P$ và $N Q$, $K$ là giao điểm của các đường thẳng $A B$ và $C D$, $L$ là giao điểm của các đường thẳng $B C$ và $A D$. Chứng minh rằng điểm $X$ nằm trên đường thẳng $K L$.
Cho hình thang $ABCD$ có hai cạnh song song $AB$ và $CD$, với $\angle BAD = 90^\circ$ và $AB + CD = BC$. Ngoài ra, gọi $M$ là trung điểm của $AD$.
Chứng minh rằng $\angle CMB = 90^\circ$.
Anna, Berta và Clara viết các số chính phương $1, 4, 9, \dots, 2025$ lên bảng, tính tổng của chúng và nhận thấy tổng này chia hết cho $3$. Sau đó, họ thống nhất chơi trò chơi sau: Trong mỗi lượt, Anna gạch đi một số, sau đó Berta cũng làm như vậy, rồi đến Clara cũng làm như vậy. Trò chơi tiếp tục cho đến khi tất cả các số đều bị gạch. Mục tiêu của Clara là sau mỗi lượt, tổng các số còn lại chia hết cho $3$.
a) Chứng minh rằng Anna không thể ngăn Clara đạt được mục tiêu nếu Clara được Berta giúp đỡ.
b) Chứng minh rằng Berta có thể ngăn Clara đạt được mục tiêu ngay cả khi Clara được Anna giúp đỡ.
Xác định hằng số $C$ nhỏ nhất sao cho bất đẳng thức
$$
(X + Y)^2 (X^2 + Y^2 + C) + (1 - XY)^2 \geq 0
$$
đúng với mọi số thực $X$ và $Y$.
Với hằng số $C$ nhỏ nhất này, đẳng thức xảy ra với những giá trị nào của $X$ và $Y$?
Cho tam giác nhọn $ABC$ với $AB \gt AC$. Gọi $D$, $E$ và $F$ lần lượt là chân các đường cao hạ xuống $BC$, $AC$ và $AB$. Gọi $S$ là giao điểm của các đường thẳng $EF$ và $BC$.
Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp $k_1$ và $k_2$ của hai tam giác $AEF$ và $DES$ tiếp xúc nhau tại $E$.
Ban đầu, các số $1, 2, \ldots, 2024$ được viết trên bảng. Trixi và Nana chơi một trò chơi, lần lượt thay phiên nhau. Trixi đi trước.
Người đến lượt chọn hai số $a$ và $b$, xóa cả hai và viết hiệu của chúng $a - b$ (có thể âm) lên bảng. Việc này được lặp lại cho đến khi, sau $2023$ nước đi, trên bảng chỉ còn lại một số. Trixi thắng nếu số này chia hết cho $3$, ngược lại Nana thắng.
Cho tam giác tù $ABC$ có trực tâm $H$ và trọng tâm $S$. Gọi $D$, $E$ và $F$ lần lượt là trung điểm của các đoạn $BC$, $AC$, $AB$.
Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$, đường tròn ngoại tiếp tam giác $DEF$ và đường tròn đường kính $HS$ có hai điểm chung phân biệt.
Với mỗi số nguyên tố $p$, xác định số lớp thặng dư modulo $p$ có thể biểu diễn được dưới dạng $a^2 + b^2$ modulo $p$, trong đó $a$ và $b$ là các số nguyên tùy ý.
Cho $\alpha$ và $\beta$ là các số thực với $\beta \neq 0$. Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ sao cho
$$
f(\alpha f(x) + f(y)) = \beta x + f(y)
$$
đúng với mọi số thực $x$ và $y$.
Cho $h$ là nửa đường tròn đường kính $AB$. Hai đường tròn $k_1$ và $k_2$, $k_1 \neq k_2$, lần lượt tiếp xúc với đoạn $AB$ tại các điểm $C$ và $D$, và tiếp xúc trong với nửa đường tròn $h$ lần lượt tại các điểm $E$ và $F$. Chứng minh rằng bốn điểm $C$, $D$, $E$ và $F$ cùng nằm trên một đường tròn.
Cho số nguyên $n \ge 3$. Một *điệu nhảy vòng tròn* là điệu nhảy được thực hiện theo quy tắc sau: Trên sàn, $n$ điểm được đánh dấu cách đều nhau dọc theo một đường tròn lớn. Tại mỗi điểm có một tờ giấy với một mũi tên chỉ theo chiều kim đồng hồ hoặc ngược chiều kim đồng hồ. Một trong các điểm được đánh dấu là "Xuất phát". Người nhảy bắt đầu tại điểm này. Ở mỗi bước, trước hết anh ta đổi chiều mũi tên tại vị trí hiện tại, rồi di chuyển tới điểm kế tiếp theo chiều mới của mũi tên.
a) Chứng minh: Mỗi điệu nhảy vòng tròn đi qua mỗi điểm vô số lần.
b) Có bao nhiêu điệu nhảy vòng tròn khác nhau? Hai điệu nhảy vòng tròn được coi là giống nhau nếu chúng chỉ khác nhau ở một số hữu hạn bước lúc đầu, và sau đó luôn đi qua cùng các điểm theo cùng thứ tự. (Dãy bước chung có thể bắt đầu ở những thời điểm khác nhau trong hai điệu nhảy.)
Một số nguyên dương được gọi là *lũy thừa mạnh* nếu mọi số mũ trong phân tích ra thừa số nguyên tố của nó đều $\geq 2$.
Chứng minh rằng có vô số cặp số nguyên dương liên tiếp đều là số lũy thừa mạnh.
Cho tam giác nhọn $ABC$ có trực tâm $H$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $BHC$ cắt $AC$ lần thứ hai tại điểm $P$ và cắt $AB$ lần thứ hai tại điểm $Q$.
Chứng minh rằng $H$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $APQ$.