Có một bộ bài vô hạn, mỗi lá ghi một số thực. Với mỗi số thực $x$, có đúng một lá ghi $x$. Hai người chơi rút từ bộ bài hai tập $A,B$ rời nhau, mỗi tập có $100$ lá. Ta muốn định nghĩa một quy tắc xác định một người thắng, thỏa mãn:
1. Người thắng chỉ phụ thuộc thứ tự tương đối của $200$ lá: nếu úp các lá theo thứ tự tăng dần và chỉ cho biết lá nào thuộc người nào, không cho biết các số trên lá, ta vẫn xác định được người thắng.
2. Nếu viết hai tập theo thứ tự tăng dần $A=\{a_1,a_2,\ldots,a_{100}\}$, $B=\{b_1,b_2,\ldots,b_{100}\}$ và $a_i\gt b_i$ với mọi $i$, thì $A$ thắng $B$.
3. Nếu ba người rút ba tập rời nhau $A,B,C$, mà $A$ thắng $B$ và $B$ thắng $C$, thì $A$ cũng thắng $C$.
Có bao nhiêu cách định nghĩa quy tắc như vậy? Hai quy tắc được xem là khác nhau nếu tồn tại hai tập $A,B$ sao cho theo quy tắc này $A$ thắng $B$, còn theo quy tắc kia $B$ thắng $A$.
Cho tứ giác $AB\Gamma\Delta$ nội tiếp một đường tròn. Vẽ các đường tròn $C_A,C_B,C_\Gamma,C_\Delta$ lần lượt có tâm $A,B,\Gamma,\Delta$ và không có điểm chung. Đường tròn $C_A$ cắt các cạnh của tứ giác tại $A_1,A_2$; tương tự $C_B$ tại $B_1,B_2$, $C_\Gamma$ tại $\Gamma_1,\Gamma_2$, và $C_\Delta$ tại $\Delta_1,\Delta_2$. Chứng minh tứ giác tạo bởi các đường thẳng $A_1A_2,B_1B_2,\Gamma_1\Gamma_2,\Delta_1\Delta_2$ là tứ giác nội tiếp. (E. Psychas)
Một bộ bài gồm 1024 lá. Trên mỗi lá ghi một tập các chữ số thập phân phân biệt, và không có hai tập nào trùng nhau (vì thế có một lá trống). Hai người chơi luân phiên lấy bài, mỗi lượt một lá. Khi bộ bài hết, mỗi người kiểm tra xem có thể bỏ đi một lá của mình để mỗi chữ số trong mười chữ số xuất hiện trên một số chẵn lá còn lại hay không. Nếu một người làm được còn người kia không làm được thì người làm được thắng; nếu không, ván đấu hòa.
Xác định mọi nước đi đầu tiên của người thứ nhất mà sau đó người này có chiến lược thắng.
Với mỗi số thực $x$, ký hiệu $\|x\|$ là khoảng cách từ $x$ tới số nguyên gần nhất. Chứng minh rằng với mọi cặp số nguyên dương $(a,b)$, tồn tại một số nguyên tố lẻ $p$ và số nguyên dương $k$ sao cho
$$\left\|\frac{a}{p^k}\right\|+\left\|\frac{b}{p^k}\right\|+\left\|\frac{a+b}{p^k}\right\|=1.$$
Tìm số nguyên dương nhỏ nhất $n$ sao cho tồn tại đa thức
$$P(X)=a_{2n}X^{2n}+a_{2n-1}X^{2n-1}+\ldots+a_1X+a_0$$
có hệ số thực thỏa mãn:
- $2014\le a_i\le2015$ với $i=0,1,\ldots,2n$;
- tồn tại số thực $\xi$ sao cho $P(\xi)=0$.
Hai điểm $A,C$ nằm trên một đường tròn bán kính $\sqrt{50}$. Điểm $B$ nằm trong đường tròn và $\angle ABC=90^\circ$. Nếu $AB=6$, $BC=2$, tìm khoảng cách từ $B$ đến tâm đường tròn.
Ký hiệu $\lfloor x\rfloor$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$. Tìm hai chữ số cuối của
$$\left\lfloor\frac13\right\rfloor+\left\lfloor\frac23\right\rfloor+\left\lfloor\frac{2^2}3\right\rfloor+\cdots+\left\lfloor\frac{2^{2^{2^{14}}}}3\right\rfloor.$$
Cho $\Sigma=\{1,2,3,\ldots,n\}$. Muốn chia $\Sigma$ thành ba tập con $A,B,\Gamma$ đôi một không giao nhau, $A\cup B\cup\Gamma=\Sigma$, sao cho tổng các phần tử $S_A,S_B,S_\Gamma$ bằng nhau. Xét xem điều đó có thể thực hiện trong các trường hợp: (a) $n=2014$; (b) $n=2015$; (c) $n=2018$. (A. Fellouris)
Một số nguyên dương $n$ được gọi là tinh nghịch nếu viết được dưới dạng $n=a^b+b$ với hai số nguyên $a,b\ge2$. Hãy quyết định có tồn tại $102$ số nguyên dương liên tiếp, trong đó đúng $100$ số tinh nghịch, hay không.
Cho tam giác $ABC$. Các điểm $K,L,M$ lần lượt nằm trên các đoạn $BC,CA,AB$ sao cho các đường thẳng $AK,BL,CM$ đồng quy. Chứng minh có thể chọn hai trong ba tam giác $ALM,BMK,CKL$ sao cho tổng bán kính nội tiếp của chúng không nhỏ hơn bán kính nội tiếp tam giác $ABC$.
Gọi $\Omega,O$ lần lượt là đường tròn ngoại tiếp và tâm ngoại tiếp của tam giác nhọn $ABC$ có $AB\gt BC$. Phân giác góc $ABC$ cắt $\Omega$ tại $M\ne B$. Gọi $\Gamma$ là đường tròn đường kính $BM$. Các phân giác của $\angle AOB$ và $\angle BOC$ cắt $\Gamma$ lần lượt tại $P,Q$. Chọn $R$ trên đường thẳng $PQ$ sao cho $BR=MR$. Chứng minh $BR\parallel AC$. (Ở đây luôn hiểu phân giác là một tia.)
(Nga)
Tìm số nguyên dương lớn nhất $k$ sao cho với mọi số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $abc=1$, ta có
$$\frac1a+\frac1b+\frac1c+\frac{k}{a+b+c+1}\ge\frac k4+3.$$
Cho $a,b,c$ là các số thực đôi một khác nhau và khác không. Nếu ba phương trình $ax^3+bx+c=0$, $bx^3+cx+a=0$, $cx^3+ax+b=0$ có một nghiệm chung, chứng minh rằng ít nhất một phương trình có ba nghiệm thực (không nhất thiết phân biệt).
Cho tam giác nhọn $ABC$, $H$ là chân đường vuông góc từ $A$ xuống cạnh $BC$. Lấy $D,E$ lần lượt trên các đoạn $AB,AC$; gọi $F,G$ lần lượt là chân đường vuông góc từ $D,E$ xuống $BC$. Gọi $P$ là chân đường vuông góc từ $E$ xuống đoạn $DH$. Giả sử $DG,EF,AH$ đồng quy. Chứng minh $\angle APE=\angle CPE$.
Cho các điểm $A,B,C$ trong cùng mặt phẳng với $\angle ACB=120^\circ$. Có dãy đường tròn $\omega_0,\omega_1,\omega_2,\ldots$ trong mặt phẳng đó, bán kính tương ứng $r_0,r_1,r_2,\ldots$, trong đó $r_0\gt r_1\gt r_2\gt \ldots$, sao cho mỗi đường tròn tiếp xúc với cả hai đoạn $CA,CB$. Hơn nữa, $\omega_i$ tiếp xúc với $\omega_{i-1}$ với mọi $i\ge1$. Nếu $r_0=3$, tính $r_0+r_1+r_2+\ldots$.
