Cho các số thực không âm $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=3$. Chứng minh
$$\begin{aligned}&\left(a^2b+\frac23\right)\left(b^2c+\frac23\right)+\left(b^2c+\frac23\right)\left(c^2a+\frac23\right)\\&\quad+\left(c^2a+\frac23\right)\left(a^2b+\frac23\right)\le\frac{75}{4}.\end{aligned}$$
Trong tam giác nhọn $ABC$, đường tròn nội tiếp $\omega$ tiếp xúc với đường thẳng $BC$ tại $K$. Gọi $AD$ là đường cao, $M$ là trung điểm $AD$. Nếu $N$ là giao điểm thứ hai của $\omega$ với $KM$, chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác $BCN$ và $\omega$ tiếp xúc nhau tại $N$.
Một con bọ chét ở điểm $A$ trên đường thẳng, mỗi lần nhảy đúng $1\,\mathrm m$ và không rời đường thẳng.
a) Có bao nhiêu cách để nó đến điểm $B$ cách $A$ $5\,\mathrm m$ về bên phải bằng đúng 7 lần nhảy?
b) Có bao nhiêu cách để nó đến điểm $C$ cách $A$ $5\,\mathrm m$ về bên phải bằng đúng 9 lần nhảy?
c) Nó có thể đến điểm $D$ trên đường thẳng cách $A$ $2013\,\mathrm m$ bằng đúng 2028 lần nhảy không? Giải thích.
Hai đường tròn $\omega_1,\omega_2$ cắt nhau tại $X,Y$. Đường tròn $\omega$ tiếp xúc trong với $\omega_1,\omega_2$ lần lượt tại $P,Q$. Đoạn $XY$ cắt $\omega$ tại $M,N$. Các tia $PM,PN$ cắt $\omega_1$ tại $A,D$; các tia $QM,QN$ cắt $\omega_2$ tại $B,C$. Chứng minh $AB=CD$.
Cho dãy số tự nhiên $\{a_n\}_{n\ge1}$ thỏa $0\lt a_{n+1}-a_n\le m$ với mọi $n\ge1$, trong đó $m\in\mathbb N$ cố định. Chứng minh có các số hạng $a_r,a_s$ sao cho $a_r\mid a_s$ và $1\le r\lt s$.
Cho số nguyên dương $a$ sao cho có đúng $10$ số chính phương lớn hơn $a$ và nhỏ hơn $2a$.
(a) Tìm giá trị nhỏ nhất có thể của $a$.
(b) Tìm giá trị lớn nhất có thể của $a$.
Tam giác $ABC$ có $\angle BAC=90^\circ$. Gọi $D$ là chân đường cao từ $A$ xuống $BC$, và $I_1,I_2$ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác $ABD,ACD$. Gọi $M,K$ lần lượt là chân các đường vuông góc từ $I_1,I_2$ xuống đoạn $AD$. Biết $I_1M+I_2K=BC/4$, hãy tìm các góc của tam giác $ABC$.
Xét dãy số $a_1,a_2,\ldots$, trong đó
$$a_n=\underbrace{111111\ldots1}_{3^n},$$
tức $a_1=\underbrace{111}_{3}$, $a_2=\underbrace{111111111}_{9}$, $a_3=\underbrace{111\ldots1}_{27}$, v.v. Các số ghi dưới dấu ngoặc chỉ số chữ số một.
(a) Chứng minh $a_1$ là bội của $3$ nhưng không là bội của $9$.
(b) Chứng minh $a_2$ là bội của $9$ nhưng không là bội của $27$.
(c) Chứng minh $a_3$ là bội của $27$ nhưng không là bội của $81$.
Cho tam giác nhọn $ABC$ và điểm $H$ nằm trong tam giác. Gọi ảnh của $H$ qua phép đối xứng trục $AB,AC$ lần lượt là $H_c,H_b$, và ảnh của $H$ qua phép đối xứng tâm là trung điểm của các cạnh tương ứng ấy lần lượt là $H_c^{\prime},H_b^{\prime}$. Chứng minh bốn điểm $H_b,H_b^{\prime},H_c,H_c^{\prime}$ cùng nằm trên một đường tròn khi và chỉ khi ít nhất hai điểm trùng nhau hoặc $H$ nằm trên đường cao từ $A$ của tam giác $ABC$.
Có tồn tại hai đa thức đơn khởi thực $P(x),Q(x)$ bậc 3 sao cho $P(Q(x))$ có chín nghiệm nguyên không âm đôi một phân biệt với tổng bằng 72 không? (Đa thức đơn khởi bậc 3 có hệ số của $x^3$ bằng 1.)
Cho một lục giác đều cạnh $1$. Bên trong lục giác có $m$ điểm sao cho không có ba điểm nào trong số đó thẳng hàng. Chia lục giác thành các tam giác sao cho mỗi điểm trong $m$ điểm đã cho và mỗi đỉnh lục giác là đỉnh của một tam giác như vậy. Các tam giác của phép chia không có điểm trong chung. Chứng minh có một tam giác có diện tích không lớn hơn $\frac{3\sqrt3}{4(m+2)}$.
Giáo sư Guilherme tạo ba máy kỳ lạ. Máy $A$ biến mèo thành chó với xác suất $1/3$; máy $B$ làm vậy với xác suất $2/5$; máy $C$ với xác suất $1/4$. Nếu con vật là chó thì không máy nào biến đổi nó.
Ông đưa mèo vào $A$, rồi đưa con vật thu được vào $B$, cuối cùng đưa con vật từ $B$ vào $C$. Xác suất có chó đi ra từ $C$ là bao nhiêu?
**ДБ-А2** Chứng minh rằng số phân hoạch của $n$ trong đó chỉ các số hạng lẻ được phép bằng nhau bằng số phân hoạch của $n$ trong đó mỗi số hạng xuất hiện không quá $3$ lần.
Cho tam giác cân $ABC$ với $AC=BC$. Điểm $N$ nằm trong tam giác sao cho $2\angle ANB=180^\circ+\angle ACB$. Gọi $D$ là giao điểm của đường thẳng $BN$ và đường thẳng qua $C$ song song với $AN$. Gọi $P$ là giao điểm các đường phân giác của $\angle CAN$ và $\angle ABN$.
Chứng minh $DP\perp AN$.
Số tự nhiên $N$ lớn hơn $10$ được gọi là “siêu chính phương” nếu số tạo bởi mỗi cặp chữ số liên tiếp của $N$ (giữ nguyên thứ tự) luôn là số chính phương. Ví dụ, $8164$ là “siêu chính phương” vì $81$, $16$, $64$ đều là số chính phương. Các ví dụ khác là $25$ và $649$.
(a) Có bao nhiêu số “siêu chính phương”?
(b) Số “siêu chính phương” lớn nhất là bao nhiêu?
Năm bạn Arnaldo, Bernaldo, Cernaldo, Dernaldo, Ernaldo thi đấu năm cuộc chạy. Mỗi cuộc, người thứ nhất nhận $5$ điểm, thứ hai $4$ điểm, tiếp tục đến người cuối nhận $1$ điểm. Tổng điểm năm cuộc cho thứ hạng chung cuộc. Arnaldo đứng đầu với $19$ điểm, Bernaldo thứ hai với $16$ điểm; Cernaldo, Dernaldo, Ernaldo lần lượt thứ ba, tư, năm. Không hòa trong bất kỳ cuộc nào hay tổng điểm. Điều lạ là cả Arnaldo lẫn Bernaldo đều không thắng cuộc nào.
(a) Chứng minh trong mỗi cuộc, Arnaldo và Bernaldo luôn chiếm vị trí thứ hai và thứ ba, theo một thứ tự nào đó.
(b) Cernaldo được bao nhiêu điểm?
(c) Mỗi người thắng bao nhiêu cuộc?
Júlio Daniel có tờ giấy vuông với các đỉnh $A,B,C,D$. Đầu tiên cậu gấp đưa các đỉnh $B,D$ tới đường chéo như hình:
Sau đó cậu đưa đỉnh $C$ tới $A$, được ngũ giác như hình:
a) Chứng minh góc $a$ bằng $90^\circ$.
b) Tính góc $b$.
Một con rùa chạy trên đường thẳng như sau. Ở đoạn thứ nhất dài $\frac12\,\mathrm m$, nó chạy với vận tốc $3\,\mathrm{m/s}$. Ở đoạn thứ hai dài $\frac13\,\mathrm m$, nó chạy với vận tốc $4\,\mathrm{m/s}$. Ở đoạn thứ ba dài $\frac14\,\mathrm m$, nó chạy với vận tốc $5\,\mathrm{m/s}$, và cứ tiếp tục như vậy.
a) Rùa mất bao lâu để đi đoạn thứ nhất? Viết kết quả thành hiệu hai phân số đơn vị, tức phân số có tử bằng 1.
b) Làm tương tự với đoạn thứ hai.
c) Tính thời gian rùa đi 2013 đoạn đầu.
