MathNet 2017-part-07 — 172 bài (EN–VI)

Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(a, b)$ sao cho $a^{2017}+b$ là bội của $a b$.

Một hôm Kelvin chú Ếch thấy chán trong giờ học toán, nên cậu viết ra giấy tất cả các bộ ba có thứ tự $(a, b, c)$ gồm các số nguyên dương sao cho $a b c = 2310$. Tìm tổng của tất cả các số nguyên cậu đã viết. Nói cách khác, hãy tính
$$
\sum_{\substack{a b c = 2310 \\ a, b, c \in \mathbb{N}}} (a + b + c)
$$
trong đó $\mathbb{N}$ là tập các số nguyên dương.

Đa thức $P$ bậc $2015$ thỏa mãn $P(n)=\frac{1}{n^{2}}$ với $n=1,2, \ldots, 2016$. Tìm $\lfloor 2017 P(2017)\rfloor$.

Xác định số thực $c$ lớn nhất sao cho với mọi $2017$ số thực $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{2017}$, bất đẳng thức
$$
\sum_{i=1}^{2016} x_{i}\left(x_{i}+x_{i+1}\right) \geq c \cdot x_{2017}^{2}
$$
luôn đúng.

Xét tất cả các cặp số nguyên có thứ tự $(a, b)$ sao cho $1 \leq a \leq b \leq 100$ và
$$
\frac{(a+b)(a+b+1)}{a b}
$$
là số nguyên.
Trong các cặp đó, hãy tìm cặp có giá trị $b$ lớn nhất. Nếu có nhiều cặp cùng có giá trị $b$ lớn nhất này, hãy chọn cặp có $a$ lớn nhất. Ví dụ, chọn $(3,85)$ thay vì $(2,85)$, và chọn $(2,85)$ thay vì $(4,84)$. Lưu ý rằng đáp án phải là một cặp có thứ tự.

Dãy Fibonacci được định nghĩa như sau: $F_{0}=0$, $F_{1}=1$, và $F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}$ với mọi số nguyên $n \geq 2$. Tìm số nguyên dương nhỏ nhất $m$ sao cho $F_{m} \equiv 0 \pmod{127}$ và $F_{m+1} \equiv 1 \pmod{127}$.

Ký hiệu $\mathbb{N}$ là tập các số tự nhiên. Tính số hàm $f: \mathbb{N} \rightarrow \{0,1, \ldots, 16\}$ sao cho
$$
f(x+17)=f(x) \quad \text{và} \quad f\left(x^{2}\right) \equiv f(x)^{2}+15 \pmod{17}
$$
với mọi số nguyên $x \geq 1$.

Có bao nhiêu cách chèn các dấu + vào giữa các chữ số của $111111111111111$ (mười lăm chữ số 1) sao cho kết quả là một bội của $30$?

Có 2017 chiếc lọ xếp thành một hàng trên bàn, ban đầu đều rỗng. Mỗi ngày, một người tốt bụng chọn mười lọ liên tiếp và bỏ một đồng xu vào mỗi lọ trong mười lọ đó. Sau đó, Kelvin chú Ếch quay lại và thấy có $N$ lọ cùng chứa một số nguyên dương đồng xu như nhau (tức là tồn tại số nguyên $d\gt 0$ sao cho có $N$ lọ chứa đúng $d$ đồng xu). Giá trị lớn nhất có thể của $N$ là bao nhiêu?

Sam dành thời gian đi dạo quanh bảng ô vuông $2 \times 2$ sau đây.

| 1 | 2 |
| :--- | :--- |
| 4 | 3 |

Hai ô được gọi là kề nhau nếu chúng có chung một cạnh. Sam bắt đầu ở ô ghi số $1$ và mỗi giây đi sang một ô kề. Có bao nhiêu đường đi mà Sam có thể đi sao cho tổng các số trên mọi ô cậu đi qua trên đường đi bằng $20$ (không tính ô xuất phát)?

Emily bắt đầu với một cái xô rỗng. Mỗi giây, cô hoặc bỏ thêm một viên đá vào xô, hoặc lấy một viên đá ra khỏi xô, mỗi khả năng với xác suất $\frac{1}{2}$. Nếu cô muốn lấy một viên đá ra mà xô đang rỗng thì cô không làm gì trong giây đó (vẫn với xác suất $\frac{1}{2}$). Tính xác suất để sau 2017 giây, xô của cô chứa đúng 1337 viên đá.

Trong một căn phòng có 2017 con ếch và 2017 con cóc. Mỗi con ếch là bạn của đúng 2 con cóc khác nhau. Gọi $N$ là số cách ghép mỗi con ếch với một con cóc là bạn của nó, sao cho không có con cóc nào được ghép với nhiều hơn một con ếch. Gọi $D$ là số các giá trị khác nhau có thể có của $N$, và $S$ là tổng của tất cả các giá trị có thể có của $N$. Tìm cặp có thứ tự $(D, S)$.

Kelvin và 15 chú ếch khác đang họp, tổng cộng có 16 chú ếch. Trong buổi họp, mỗi cặp ếch khác nhau trở thành bạn với xác suất $\frac{1}{2}$. Kelvin cho rằng tình huống sau buổi họp là "tuyệt" nếu với mỗi chú ếch trong 16 chú, số bạn mà nó kết được trong buổi họp là bội của 4. Giả sử xác suất để tình huống là "tuyệt" có thể viết dưới dạng $\frac{a}{b}$, trong đó $a$ và $b$ nguyên tố cùng nhau. Tìm $a$.

Cho $m$ là số nguyên dương, và gọi $T$ là tập tất cả các tập con của $\{1,2, \ldots, m\}$. Một tập con $S$ của $T$ được gọi là $\delta$-tốt nếu với mọi $s_{1}, s_{2} \in S$, $s_{1} \neq s_{2}$, ta có $\left|\Delta\left(s_{1}, s_{2}\right)\right| \geq \delta m$, trong đó $\Delta$ là hiệu đối xứng (hiệu đối xứng của hai tập hợp là tập các phần tử thuộc đúng một trong hai tập đó). Tìm số nguyên $s$ lớn nhất sao cho tồn tại số nguyên $m$ và một tập $\frac{1024}{2047}$-tốt có $s$ phần tử.

Tính số từ $w = w_{1} w_{2} \ldots w_{100}$ thỏa mãn:
- $w$ có đúng $50$ chữ $A$ và $50$ chữ $B$ (và không có chữ cái nào khác).
- Với $i = 1, 2, \ldots, 100$, số chữ $A$ trong $w_{1}, w_{2}, \ldots, w_{i}$ không vượt quá số chữ $B$ trong $w_{1}, w_{2}, \ldots, w_{i}$.
- Với mọi $i = 44, 45, \ldots, 57$, nếu $w_{i}$ là $B$ thì $w_{i+1}$ cũng phải là $B$.

Cho $A$, $B$, $C$, $D$ là bốn điểm nằm trên một đường tròn theo thứ tự đó. Biết $AB = 3$, $BC = 5$, $CD = 6$ và $DA = 4$. Hai đường chéo $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $P$. Tính $\frac{AP}{CP}$.

Cho tam giác $ABC$ với $AB = 13$, $BC = 14$ và $CA = 15$. Gọi $\ell$ là một đường thẳng đi qua hai cạnh của tam giác $ABC$. Đường thẳng $\ell$ chia tam giác $ABC$ thành hai hình, một tam giác và một tứ giác, có chu vi bằng nhau. Diện tích lớn nhất có thể của tam giác đó là bao nhiêu?

Cho $S$ là một tập gồm 2017 điểm phân biệt trong mặt phẳng. Gọi $R$ là bán kính của đường tròn nhỏ nhất chứa tất cả các điểm của $S$ ở bên trong hoặc trên biên. Gọi $D$ là khoảng cách lớn nhất giữa hai điểm của $S$. Cho $a, b$ là các số thực sao cho $a \leq \frac{D}{R} \leq b$ với mọi tập $S$ có thể, trong đó $a$ lớn nhất có thể và $b$ nhỏ nhất có thể. Tìm cặp $(a, b)$.

Cho $ABCD$ là tứ giác lồi với $AB = 5$, $BC = 6$, $CD = 7$ và $DA = 8$. Gọi $M$, $P$, $N$, $Q$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AB$, $BC$, $CD$, $DA$. Tính $MN^{2} - PQ^{2}$.

Cho $ABCD$ là tứ giác ngoại tiếp đường tròn $\omega$ và gọi $P$ là giao điểm hai đường chéo $AC$ và $BD$. Gọi $R_{1}, R_{2}, R_{3}, R_{4}$ lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác $APB$, $BPC$, $CPD$, $DPA$. Nếu $R_{1}=31$, $R_{2}=24$ và $R_{3}=12$, hãy tìm $R_{4}$.