MathNet 2018-part-05 — 181 bài (EN–VI)

Tìm tất cả các số $x$ thỏa mãn
$$
\log_2(x^2 + 4) - \log_2 x + x^2 - 4x + 2 = 0.
$$

Chứng minh rằng số
$$
\sqrt[n]{\sqrt{2018} + \sqrt{2017}} + \sqrt[n]{\sqrt{2018} - \sqrt{2017}}
$$
không phải là số hữu tỉ với $n \ge 2$.

Cho các số thực $a, b, c$ thỏa mãn $1 \lt b \le c^2 \le a^{10}$ và
$$
\log_a b + 2 \log_b c + 5 \log_c a = 12.
$$
Chứng minh rằng
$$
2 \log_a c + 5 \log_b c + 10 \log_b a \ge 21.
$$

Với số nguyên $n \ge 2$ cố định, hãy xác định các số phức $z$ thỏa mãn các hệ thức:
$$
a)\ z^n + z^{n-1} + \dots + z^2 + |z| = n;
$$
$$
b)\ |z|^{n-1} + |z|^{n-2} + \dots + |z|^2 + z = n z^n.
$$

Chứng minh rằng với mọi số nguyên $n \ge 2$, ta có thể tìm được các ma trận $A_1, A_2, \dots, A_n \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ có mọi phần tử khác không, sao cho
$$
A_1^{-1} + A_2^{-1} + \dots + A_n^{-1} = (A_1 + A_2 + \dots + A_n)^{-1}.
$$

Xét tập hợp $M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_2(\mathbb{C}) \mid ab = cd \right\}$.

a) Hãy cho ví dụ về $A \in M$ có tính chất $A^{2017} \in M$ và $A^{2019} \in M$, nhưng $A^{2018} \notin M$.

b) Chứng minh rằng nếu với $A \in M$ tồn tại $k \ge 1$ sao cho $A^k \in M$, $A^{k+1} \in M$ và $A^{k+2} \in M$, thì $A^n \in M$ với mọi số nguyên $n \ge 1$.

Dãy số $(a_n)_{n \ge 1}$ có các tính chất $a_n \gt 1$ và $a_{n+1}^2 \ge a_n a_{n+2}$ với mọi $n \ge 1$. Chứng minh rằng dãy $(x_n)_{n \ge 1}$, xác định bởi $x_n = \log_{a_n} a_{n+1}$ với $n \ge 1$, có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn đó.

Cho các số thực $a \lt b$ và hàm số $f : (a, b) \to \mathbb{R}$ sao cho các hàm số $g : (a, b) \to \mathbb{R}$, $g(x) = (x-a)f(x)$, và $h : (a, b) \to \mathbb{R}$, $h(x) = (x-b)f(x)$ là không giảm. Chứng minh rằng $f$ liên tục.

Vladimir Cerbu và Sorin Rădulescu

Gọi $\mathcal{F}$ là tập hợp tất cả các hàm số liên tục $f: [0, 1] \to \mathbb{R}$ thỏa mãn
$$ \max_{0 \le x \le 1} |f(x)| = 1, \text{ và cho } I: \mathcal{F} \to \mathbb{R}, $$
$$
I(f) = \int_{0}^{1} f(x) \, dx - f(0) + f(1).
$$

Cho $p$ là một số nguyên lớn hơn hoặc bằng $2$ và $(M, \cdot)$ là một nửa nhóm hữu hạn sao cho $a^p \neq a$ với mọi $a \in M \setminus \{e\}$, trong đó $e$ là phần tử trung hòa (phần tử đơn vị) của $M$. Chứng minh rằng $(M, \cdot)$ là một nhóm.

Traian Preda

Chứng minh rằng hàm số liên tục $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ là không giảm khi và chỉ khi
$$
(c - b) \int_{a}^{b} f(x) \, dx \leq (b - a) \int_{b}^{c} f(x) \, dx,
$$
với mọi $a \lt b \lt c$.

Xét hai số nguyên $n$ và $q$, $n \ge 2$, $q \ge 2$, và $q \ne 1 \pmod 4$. Cho $K$ là một trường hữu hạn có đúng $q$ phần tử. Chứng minh rằng với mọi $a$ thuộc $K$, tồn tại $x$ và $y$ thuộc $K$ sao cho $a = x^2 + y^2$. (Đã biết rằng mọi trường hữu hạn đều giao hoán.)

Chứng minh rằng nếu $n \geq 2$ là một số nguyên thì tồn tại các ma trận khả nghịch $A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{n} \in \mathcal{M}_{2}(\mathbb{R})$, có mọi phần tử khác không, sao cho $A_{1}^{-1}+A_{2}^{-1}+\ldots+A_{n}^{-1}=\left(A_{1}+A_{2}+\ldots+A_{n}\right)^{-1}$.

Xét tập hợp $M=\left\{\left.\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right) \in \mathcal{M}_2(\mathbb{C}) \right\vert\, a b=c d\right\}$.
a) Hãy cho ví dụ về ma trận $A \in M$ sao cho $A^{2017} \in M$ và $A^{2019} \in M$, nhưng $A^{2018} \notin M$.
b) Chứng minh rằng nếu $A \in M$ và tồn tại số nguyên $k \geq 1$ sao cho $A^{k} \in M, A^{k+1} \in M$ và $A^{k+2} \in M$, thì $A^{n} \in M$ với mọi số nguyên $n \geq 1$.

Cho $a \lt b$ là các số thực và $f : (a, b) \rightarrow \mathbb{R}$ là một hàm số sao cho các hàm số $g : (a, b) \rightarrow \mathbb{R}$, $g(x) = (x - a) f(x)$ và $h : (a, b) \rightarrow \mathbb{R}$, $h(x) = (x - b) f(x)$ là tăng (không giảm). Chứng minh rằng hàm số $f$ liên tục trên $(a, b)$.

Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình
$$
\lfloor\sqrt{8n+1}\rfloor + \lfloor\sqrt{8n+2}\rfloor + \dots + \lfloor\sqrt{8n+7}\rfloor = 2027.
$$

Tìm giá trị nhỏ nhất có thể của tổng các chữ số của một bội khác không của $99$.

Hình thoi $ABCD$ có $m(\widehat{BAD}) = 30^\circ$, và đường phân giác của góc $\angle ADB$ cắt cạnh $[AB]$ tại điểm $E$. Tìm $m(\widehat{DEC})$.

Trên cạnh $BC$ của hình bình hành $ABCD$ cho một điểm $M$. Hãy dựng bằng thước và compa một điểm $N \in CD$ sao cho đường thẳng $BD$ chia tam giác $AMN$ thành hai phần có diện tích bằng nhau.

Cecilia Deaconescu

Cho $a$, $b$, $c$ là các số thực dương thỏa mãn $abc(a + b + c) = 3$. Chứng minh rằng
$$
\frac{1}{a^2 + b^2 + 1} + \frac{1}{b^2 + c^2 + 1} + \frac{1}{c^2 + a^2 + 1} \le 1.
$$