Xét một cách sắp xếp các quân cờ trên mặt phẳng, không nhất thiết nằm ở các điểm phân biệt. Ta được phép thực hiện một dãy các bước đi thuộc loại sau: chọn một cặp quân cờ nằm tại các điểm $A$ và $B$ rồi chuyển cả hai quân đó đến trung điểm của $A$ và $B$.
Ta nói một cách sắp xếp $n$ quân cờ là thu gọn được nếu sau hữu hạn bước đi có thể đưa cả $n$ quân cờ về cùng một điểm. Chứng minh rằng mọi cách sắp xếp $n$ quân cờ đều thu gọn được khi và chỉ khi $n$ là một lũy thừa của 2.
Cho năm điểm trên một đường tròn được ký hiệu là $A$, $B$, $C$, $D$ và $E$ theo chiều kim đồng hồ. Giả sử $A E = D E$ và gọi $P$ là giao điểm của $A C$ và $B D$. Gọi $Q$ là điểm trên đường thẳng đi qua $A$ và $B$ sao cho $A$ nằm giữa $B$ và $Q$ và $A Q = D P$. Tương tự, gọi $R$ là điểm trên đường thẳng đi qua $C$ và $D$ sao cho $D$ nằm giữa $C$ và $R$ và $D R = A P$. Chứng minh rằng $P E$ vuông góc với $Q R$.
Hai số nguyên dương $a$ và $b$ được gọi là liên hệ nguyên tố nếu $a = p b$ hoặc $b = p a$ với một số nguyên tố $p$ nào đó. Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho $n$ có ít nhất ba ước và tất cả các ước của $n$ có thể được xếp (không lặp lại) trên một đường tròn sao cho hai ước kề nhau bất kỳ đều liên hệ nguyên tố.
Tìm tất cả các đa thức $p(x)$ với hệ số thực có tính chất sau: tồn tại một đa thức $q(x)$ với hệ số thực sao cho
$$
p(1)+p(2)+p(3)+\cdots+p(n)=p(n) q(n)
$$
với mọi số nguyên dương $n$.
Cho $k$ là một số nguyên dương chẵn. Sarah trước tiên chọn một số nguyên dương $N$ lớn hơn $1$ rồi biến đổi nó như sau: mỗi phút, cô chọn một ước nguyên tố $p$ của giá trị hiện tại của $N$ và nhân $N$ hiện tại với $p^{k}-p^{-1}$ để được giá trị tiếp theo của $N$. Chứng minh rằng có vô số số nguyên dương chẵn $k$ sao cho, dù Sarah chọn thế nào, số $N$ của cô đến một lúc nào đó sẽ chia hết cho $2018$.
Một trăm người tham dự một bữa tiệc, trong đó có một số người đã quen nhau từ trước. Mọi quan hệ quen biết đều là hai chiều và không có quan hệ quen biết mới nào hình thành trong bữa tiệc.
Trong bữa tiệc, chiếc cồng được đánh $100$ lần. Sau tiếng cồng thứ nhất, tất cả những người không quen ai rời bữa tiệc. Sau tiếng cồng thứ hai, tất cả những người có đúng một người quen (trong số những người còn lại) rời đi. Cứ tiếp tục như vậy, nghĩa là sau tiếng cồng thứ $k$, tất cả những người quen đúng $k-1$ người còn lại rời bữa tiệc ($k = 1, \dots, 100$).
Khi kết thúc bữa tiệc, còn lại $n$ người. Tìm tất cả các giá trị có thể của $n$.
Cho hình vuông $ABCD$, và gọi $k$ là đường tròn tâm $B$ đi qua $A$, $C$ và điểm $T$ nằm trong hình vuông. Tiếp tuyến của $k$ tại $T$ cắt các đoạn thẳng $\overline{CD}$ và $\overline{DA}$ lần lượt tại $E$ và $F$. Gọi $G$ và $H$ lần lượt là giao điểm của các đường thẳng $BE$ và $BF$ với đoạn thẳng $\overline{AC}$.
Chứng minh rằng các đường thẳng $BT$, $EH$ và $FG$ đồng quy.
Cho $a$, $b$ và $c$ là các số thực dương thỏa mãn $a + b + c = 2$. Chứng minh rằng
$$
\frac{(a-1)^2}{b} + \frac{(b-1)^2}{c} + \frac{(c-1)^2}{a} \ge \frac{1}{4} \left( \frac{a^2+b^2}{a+b} + \frac{b^2+c^2}{b+c} + \frac{c^2+a^2}{c+a} \right).
$$
Cho $n$ là một số nguyên dương. Một từ tốt là một dãy gồm $3n$ chữ cái, trong đó mỗi chữ cái $A$, $B$ và $C$ xuất hiện đúng $n$ lần. Chứng minh rằng với mọi từ tốt $X$ tồn tại một từ tốt $Y$ sao cho $Y$ không thể nhận được từ $X$ bằng ít hơn $\frac{3}{2}n^2$ lần đổi chỗ hai chữ cái kề nhau. (IMO Shortlist 2017)
Cho $k$ là đường tròn tâm $O$. Cho $\overline{AB}$ là một dây cung của đường tròn đó và $M$ là trung điểm của nó. Các tiếp tuyến của $k$ tại $A$ và $B$ cắt nhau tại $T$. Đường thẳng $\ell$ đi qua $T$, cắt cung nhỏ $\overarc{AB}$ tại điểm $C$ và cung lớn $\overarc{AB}$ tại điểm $D$, sao cho $|BC| = |BM|$.
Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ADM$ là điểm đối xứng của $O$ qua đường thẳng $AD$.
Cho $n$ là một số nguyên dương. Các điểm $A_1, A_2, \dots, A_n$ nằm bên trong một đường tròn, và các điểm $B_1, B_2, \dots, B_n$ nằm trên đường tròn, sao cho các đoạn thẳng $\overline{A_1B_1}$, $\overline{A_2B_2}$, \dots, $\overline{A_nB_n}$ đôi một không có điểm chung. Một con châu chấu có thể nhảy từ điểm $A_i$ đến điểm $A_j$ (với $i, j \in \{1, \dots, n\}, i \neq j$) khi và chỉ khi đoạn thẳng $\overline{A_iA_j}$ không đi qua điểm trong nào của các đoạn thẳng $\overline{A_1B_1}, \overline{A_2B_2}, \dots, \overline{A_nB_n}$.
Chứng minh rằng con châu chấu có thể thực hiện một chuỗi các bước nhảy để đi từ một điểm $A_i$ bất kỳ đến một điểm $A_j$ bất kỳ. (Nga 1994)
Cho $\triangle ABC$ là tam giác nhọn với $|AB| \lt |AC|$. Điểm $D$ là điểm chính giữa cung nhỏ $\widehat{BC}$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. Điểm $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$, và điểm $J$ là điểm đối xứng của $I$ qua đường thẳng $BC$. Đường thẳng $DJ$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ tại điểm $E$ nằm trên cung nhỏ $\widehat{AB}$.
Chứng minh rằng $|AI| = |IE|$. (Romania 2017)
Cho $p$ là một số nguyên tố và $n \ge p-1$ là một số nguyên. Nếu $np+1$ là số chính phương, chứng minh rằng $n+1$ có thể biểu diễn thành tổng bình phương của đúng $p$ số nguyên dương.
Cho tam giác $\triangle ABC$ thỏa mãn $\angle CAB = 2\angle ABC$. Một điểm $D$ nằm bên trong tam giác $\triangle ABC$ sao cho $|AD| = |BD|$ và $|CD| = |AC|$. Chứng minh rằng $\angle ACB = 3\angle DCB$.