Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $m$, tồn tại số nguyên dương $n$ sao cho mọi tập gồm $n$ điểm phân biệt trên mặt phẳng đều có thể chia thành $m$ tập không rỗng có các *bao lồi* cùng chứa một điểm.
*Bao lồi* của tập hữu hạn $X$ gồm các điểm trên mặt phẳng là tập các điểm nằm trong hoặc trên biên của ít nhất một đa giác lồi có đỉnh thuộc $X$, kể cả trường hợp suy biến; tức đoạn thẳng và một điểm cũng được xem là đa giác lồi. Không có ba đỉnh của một đa giác lồi thẳng hàng. Đa giác bao gồm cả biên của nó.
Cho đa diện lồi có ít nhất 5 đỉnh, tại mỗi đỉnh có đúng ba cạnh gặp nhau. Chứng minh có thể gán cho mỗi đỉnh một số hữu tỉ sao cho:
(i) ít nhất một số được gán bằng 2020;
(ii) với mỗi mặt, tích các số tại mọi đỉnh của mặt bằng 1.
Cho tam giác $ABC$. Các điểm $D,E$ trên đường thẳng $AB$ có thứ tự $D-A-B-E$ và thỏa mãn $AD=AC$, $BE=BC$. Các đường tròn ngoại tiếp $DBC,EAC$ cắt nhau tại $X\neq C$, còn các đường tròn ngoại tiếp $DEC,ABC$ cắt nhau tại $Y\neq C$. Nếu $DY+EY=2XY$, hãy xác định $\angle ACB$.
Trong hình thang $ABCD$ không có góc trong nào vuông, hai đường chéo $AC,BD$ cắt nhau tại $E$. Gọi $P,Q$ lần lượt là chân đường vuông góc từ $A,B$ xuống các đường thẳng $BC,AD$. Các đường tròn ngoại tiếp $CEQ,DEP$ cắt lại nhau tại $F\neq E$. Chứng minh các đường thẳng $AP,BQ,EF$ đồng quy hoặc song song.
Với số nguyên dương $n$, gọi $v_2(n)$ là số nguyên lớn nhất $k\geq0$ sao cho $2^k\mid n$. Giả sử $f:\mathbb N\to\mathbb N$ thỏa mãn:
(i) $f(x)\leq3x$ với mọi $x\in\mathbb N$;
(ii) $v_2(f(x)+f(y))=v_2(x+y)$ với mọi $x,y\in\mathbb N$.
Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương $a$, tồn tại duy nhất số nguyên dương $x$ sao cho $f(x)=3a$.
Cho số nguyên dương $k$. Xét trò chơi trên bảng một chiều vô hạn. Ban đầu đặt tổng cộng $n$ quân vào các ô, có thể nhiều quân trong cùng một ô. Mỗi lượt thực hiện một trong hai phép:
$(1^\circ)$ Chọn hai ô kề nhau đều không rỗng và chuyển mọi quân từ một ô sang ô kia.
$(2^\circ)$ Chọn ô có ít nhất hai quân, chuyển một quân sang trái $k$ ô và một quân sang phải $k$ ô.
a. Nếu $n\leq k+1$, chứng minh chỉ thực hiện được hữu hạn lượt.
b. Với những giá trị $k$ nào, có thể chọn $n$ và bố trí ban đầu để thực hiện vô hạn lượt?
Đa thức hệ số thực $p(x)$ được gọi là *Almería* nếu có dạng
$$
p(x) = x^3 + ax^2 + bx + a
$$
và ba nghiệm là các số thực dương lập thành cấp số cộng. Tìm tất cả các đa thức Almería thỏa mãn $p(7/4)=0$.
Cho số nguyên dương $n\gt 1$. Thực hiện phép toán: nếu $n$ chẵn thì chia cho 2; nếu $n$ lẻ thì cộng 5. Nếu kết quả bằng 1 thì dừng; nếu không, tiếp tục lặp phép toán. Tìm tất cả các giá trị ban đầu $n$ để quá trình hữu hạn, tức cuối cùng đến 1.
Ana và Bernardo chơi với túi có $n\geq1$ viên đá. Hai người luân phiên, Ana đi trước. Nếu số đá chẵn, người chơi được lấy một viên hoặc một nửa số đá; nếu lẻ, phải lấy một viên. Mục tiêu là lấy viên cuối cùng. Với những $n$ nào Ana có chiến lược thắng?
Xét dãy số nguyên $\{f(n)\}_{n=1}^{\infty}$ được định nghĩa bởi:
* $f(1) = 1$.
* Nếu $n$ chẵn, $f(n) = f(n/2)$.
* Nếu $n\gt 1$ lẻ và $f(n-1)$ lẻ thì $f(n) = f(n-1) - 1$.
* Nếu $n\gt 1$ lẻ và $f(n-1)$ chẵn thì $f(n) = f(n-1) + 1$
a) Tính $f(2^{2020} - 1)$.
b) Chứng minh $\{f(n)\}_{n=1}^{\infty}$ không tuần hoàn từ một lúc nào đó: không tồn tại số nguyên dương $t,n_0$ sao cho $f(n+t)=f(n)$ với mọi $n\geq n_0$.
Tìm tất cả các giá trị $n$ để tồn tại một đa giác lồi $n$ cạnh có các góc trong, tính bằng độ, đều là số nguyên lập thành cấp số cộng và không bằng nhau tất cả.
Cho tam giác $ABC$ có $AB\lt AC$, tâm nội tiếp $I$. Đường tròn nội tiếp tiếp xúc với $BC$ tại $D$. Gọi $E$ là điểm duy nhất sao cho $D$ là trung điểm $BE$. Đường qua $E$ vuông góc với $BC$ cắt $CI$ tại $P$. Chứng minh $BP\perp AD$.
Cho tam giác nhọn $ABC$. Gọi $D$ là chân đường cao xuống $BC$, $M$ là trung điểm $BC$, và $F$ là giao điểm phân giác trong của $\angle BAC$ với $BC$. Tìm tất cả các tam giác để $F$ là trung điểm của $DM$.
Mỗi điểm của $A=\{(x,y,z)\in\mathbb Z^3\}$, tập các điểm có tọa độ nguyên trong không gian ba chiều, được tô một trong $p$ màu. Chứng minh luôn tồn tại một hình hộp chữ nhật, tức đa diện sáu mặt đều là hình chữ nhật, có các đỉnh thuộc $A$ và cùng màu.
Tìm tất cả các bộ ba số thực $(x,y,z)$ thỏa mãn
$$
\begin{array}{cccc}
x+y+z & = & 1 \\
x^{2} y+y^{2} z+z^{2} x & = & x y^{2}+y z^{2}+z x^{2} \\
x^{3}+y^{2}+z & = & y^{3}+z^{2}+x
\end{array}
$$