Giả sử $P(z)$, $Q(z)$ và $R(z)$ là các đa thức có hệ số thực, có bậc lần lượt là $2$, $3$ và $6$, và có hệ số tự do lần lượt là $1$, $2$ và $3$. Gọi $N$ là số lượng số phức $z$ phân biệt thỏa mãn phương trình $P(z)\cdot Q(z)=R(z)$. Giá trị nhỏ nhất có thể có của $N$ bằng bao nhiêu?
Nhắc lại rằng số phức liên hợp của $w=a+bi$, trong đó $a,b$ là các số thực và $i=\sqrt{-1}$, là $\bar w=a-bi$. Với mỗi số phức $z$, đặt $f(z)=4i\bar z$. Đa thức $P(z)=z^4+4z^3+3z^2+2z+1$ có bốn nghiệm phức $z_1,z_2,z_3,z_4$. Gọi $Q(z)=z^4+Az^3+Bz^2+Cz+D$ là đa thức có các nghiệm $f(z_1),f(z_2),f(z_3),f(z_4)$, trong đó $A,B,C,D$ là các số phức. Tính $B+D$.
Một tổ chức có $30$ nhân viên, trong đó $20$ người có máy tính nhãn hiệu A và $10$ người còn lại có máy tính nhãn hiệu B. Vì lý do an ninh, các máy tính chỉ có thể kết nối với nhau và chỉ bằng dây cáp. Mỗi dây cáp chỉ được nối một máy tính nhãn hiệu A với một máy tính nhãn hiệu B. Hai nhân viên có thể liên lạc với nhau nếu máy tính của họ được nối trực tiếp bằng một dây cáp hoặc có thể chuyển tiếp thông điệp qua một dãy máy tính được kết nối. Ban đầu, không có máy tính nào được nối với máy tính khác. Một kỹ thuật viên tùy ý chọn một máy tính của mỗi nhãn hiệu rồi lắp một dây cáp giữa chúng, với điều kiện cặp máy đó chưa có dây cáp nối trực tiếp. Kỹ thuật viên dừng lại ngay khi mọi nhân viên đều có thể liên lạc với mọi nhân viên khác. Số dây cáp lớn nhất có thể đã dùng là bao nhiêu?
Giả sử $a,b,c$ là các số nguyên dương thỏa mãn $a+b+c=23$ và $\gcd(a,b)+\gcd(b,c)+\gcd(c,a)=9$. Tính tổng tất cả các giá trị phân biệt có thể có của $a^2+b^2+c^2$.
Có bao nhiêu cặp có thứ tự $(b,c)$ gồm các số nguyên dương sao cho cả hai phương trình $x^2+bx+c=0$ và $x^2+cx+b=0$ đều không có hai nghiệm thực phân biệt?
Một con bọ bắt đầu ở một đỉnh của lưới tạo bởi các tam giác đều có cạnh bằng $1$. Ở mỗi bước, con bọ di chuyển dọc theo các đường của lưới theo một trong $6$ hướng có thể, được chọn ngẫu nhiên, độc lập và với xác suất bằng nhau. Tính xác suất để trong suốt $5$ bước di chuyển, con bọ chưa từng ở cách vị trí xuất phát quá $1$ đơn vị.
Đặt $u_0=\frac14$ và, với $k\ge0$, xác định $u_{k+1}$ bằng công thức truy hồi $u_{k+1}=2u_k-2u_k^2$. Dãy số này có giới hạn, gọi là $L$. Giá trị nhỏ nhất của $k$ để
$$
|u_k-L|\le\frac{1}{2^{1000}}
$$
là bao nhiêu?
Gọi $x$ là số thực nhỏ nhất lớn hơn $1$ thỏa mãn $\sin x=\sin(x^2)$, trong đó các góc được tính theo độ. Khi làm tròn $x$ lên số nguyên gần nhất, ta được số nào?
Với mỗi số nguyên dương $n$, gọi $f_1(n)$ là hai lần số ước nguyên dương của $n$. Với $j\ge2$, đặt $f_j(n)=f_1(f_{j-1}(n))$. Có bao nhiêu giá trị $n\le50$ thỏa mãn $f_{50}(n)=12$?
Với số thực $x$, đặt
$$
P(x)=1+\cos(x)+i\sin(x)-\cos(2x)-i\sin(2x)+\cos(3x)+i\sin(3x),
$$
trong đó $i=\sqrt{-1}$. Có bao nhiêu giá trị $x$ thỏa mãn $0\le x\lt 2\pi$ và $P(x)=0$?
Tam giác vuông $ABC$ có các cạnh $BC=6$, $AC=8$ và $AB=10$. Một đường tròn tâm $O$ tiếp xúc với đường thẳng $BC$ tại $B$ và đi qua $A$. Một đường tròn tâm $P$ tiếp xúc với đường thẳng $AC$ tại $A$ và đi qua $B$. Tính $OP$.
Một đa thức bậc hai $p(x)$ có hệ số thực và hệ số cao nhất bằng $1$ được gọi là *bất kính* nếu phương trình $p(p(x))=0$ có đúng ba nghiệm thực phân biệt. Trong tất cả các đa thức bậc hai bất kính, có duy nhất một đa thức $\tilde p(x)$ mà tổng các nghiệm của nó đạt giá trị lớn nhất. Tính $\tilde p(1)$.
Chọn ngẫu nhiên một tập con gồm $5$ số nguyên phân biệt từ tập $\{1,2,3,\ldots,30\}$. Số cặp số nguyên liên tiếp trong tập con được chọn có giá trị trung bình bằng bao nhiêu? (Ví dụ, tập $\{1,17,18,19,30\}$ có $2$ cặp số nguyên liên tiếp.)
Tứ giác lồi $ABCD$ có $AB=18$, $\angle A=60^\circ$ và $\overline{AB}\parallel\overline{CD}$. Theo một thứ tự nào đó, độ dài bốn cạnh tạo thành một cấp số cộng, trong đó $AB$ là một cạnh có độ dài lớn nhất. Độ dài của một cạnh khác là $a$. Tính tổng tất cả các giá trị có thể có của $a$.
Tam giác $ABC$ có các cạnh $AB=11$, $BC=24$ và $CA=20$. Tia phân giác của $\angle BAC$ cắt đoạn $\overline{BC}$ tại $D$ và cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ tại điểm $E\ne A$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $BED$ cắt đường thẳng $AB$ tại $B$ và $F\ne B$. Tính $CF$.
Cho $m\ge5$ là một số nguyên lẻ. Gọi $D(m)$ là số bộ bốn $(a_1,a_2,a_3,a_4)$ gồm các số nguyên đôi một phân biệt, với $1\le a_i\le m$ cho mọi $i$, sao cho $a_1+a_2+a_3+a_4$ chia hết cho $m$. Có một đa thức $q(x)=c_3x^3+c_2x^2+c_1x+c_0$ thỏa mãn $D(m)=q(m)$ với mọi số nguyên lẻ $m\ge5$. Tính $c_1$.
Với số nguyên dương $n$, gọi $R(n)$ là tổng các số dư khi chia $n$ lần lượt cho $2,3,4,5,6,7,8,9$ và $10$. Ví dụ, $R(15)=1+0+3+0+3+1+7+6+5=26$. Có bao nhiêu số nguyên dương $n$ có hai chữ số thỏa mãn $R(n)=R(n+1)$?