Cho hai dãy số dương $(x_n),(y_n)$ xác định bởi $x_1=1$, $y_1=\sqrt3$ và
$$\begin{cases}x_{n+1}y_{n+1}-x_n=0,\\x_{n+1}^2+y_n=2\end{cases}\qquad(n=1,2,\ldots).$$
Chứng minh rằng hai dãy số trên hội tụ và tìm giới hạn của chúng.
Cho đa thức $P(x)=(x^2-7x+6)^{2n}+13$ với $n$ là số nguyên dương. Chứng minh rằng $P(x)$ không thể biểu diễn được dưới dạng tích của $n+1$ đa thức khác hằng số với hệ số nguyên.
Cho đa giác đều có $103$ cạnh. Tô màu đỏ $79$ đỉnh của đa giác và tô màu xanh các đỉnh còn lại. Gọi $A$ là số cặp đỉnh đỏ kề nhau và $B$ là số cặp đỉnh xanh kề nhau.
(a) Tìm tất cả các giá trị có thể nhận được của cặp $(A,B)$.
(b) Xác định số cách tô màu các đỉnh của đa giác để $B=14$. Hai cách tô được xem như nhau nếu nhận được từ nhau qua phép quay quanh tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác.
Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ với $AB\lt AC$. Gọi $I$ là trung điểm cung $BC$ không chứa $A$. Trên $AC$ lấy điểm $K$ khác $C$ sao cho $IK=IC$. Đường thẳng $BK$ cắt $(O)$ tại $D$ ($D\ne B$) và cắt đường thẳng $AI$ tại $E$. Đường thẳng $DI$ cắt đường thẳng $AC$ tại $F$.
(a) Chứng minh rằng $EF=BC/2$.
(b) Trên $DI$ lấy điểm $M$ sao cho $CM$ song song với $AD$. Đường thẳng $KM$ cắt đường thẳng $BC$ tại $N$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $BKN$ cắt $(O)$ tại $P$ ($P\ne B$). Chứng minh rằng đường thẳng $PK$ đi qua trung điểm đoạn thẳng $AD$.
Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$, trong đó $B,C$ cố định và $A$ thay đổi trên $(O)$. Trên các tia $AB,AC$ lần lượt lấy các điểm $M,N$ sao cho $MA=MC$, $NA=NB$. Các đường tròn ngoại tiếp các tam giác $AMN$, $ABC$ cắt nhau tại $P$ ($P\ne A$). Đường thẳng $MN$ cắt đường thẳng $BC$ tại $Q$.
(a) Chứng minh rằng ba điểm $A,P,Q$ thẳng hàng.
(b) Gọi $D$ là trung điểm $BC$. Các đường tròn có tâm là $M,N$ và cùng đi qua $A$ cắt nhau tại $K$ ($K\ne A$). Đường thẳng qua $A$ vuông góc với $AK$ cắt $BC$ tại $E$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $ADE$ cắt $(O)$ tại $F$ ($F\ne A$). Chứng minh rằng đường thẳng $AF$ đi qua một điểm cố định.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
$$T=\frac{x^3y^4z^3}{(x^4+y^4)(xy+z^2)^3}+\frac{y^3z^4x^3}{(y^4+z^4)(yz+x^2)^3}+\frac{z^3x^4y^3}{(z^4+x^4)(zx+y^2)^3}$$
với $x,y,z$ là các số thực dương.
Tìm tất cả các bộ số gồm $2014$ số hữu tỉ không nhất thiết phân biệt, thỏa mãn điều kiện: nếu bỏ đi một số bất kì trong bộ số đó thì $2013$ số còn lại có thể chia thành $3$ nhóm rời nhau sao cho mỗi nhóm gồm $671$ số và tích tất cả các số trong mỗi nhóm bằng nhau.