Câu hỏi 4
Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân, có đường cao $AD$ và $P$ thuộc $AD$. Các đường thẳng $PB,PC$ lần lượt cắt $CA,AB$ tại $E,F$.
(a) Giả sử tứ giác $AEDF$ nội tiếp. Chứng minh $\dfrac{PA}{PD}=(\tan B+\tan C)\cot\dfrac A2$.
(b) Gọi $CP$ cắt đường thẳng qua $B$ vuông góc với $AB$ tại $M$; $BP$ cắt đường thẳng qua $C$ vuông góc với $AC$ tại $N$. Gọi $K$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $MN$. Chứng minh $\angle BKC+\angle MAN$ không đổi khi $P$ di chuyển trên $AD$.
Các giao điểm và góc được hiểu ở vị trí không suy biến. Lưu ý phạm vi nguồn: câu (b), nếu dùng góc thông thường trên toàn đoạn đường cao, không đúng như đã in; lời giải giữ lập luận trong cấu hình của nguồn và đưa kiểm tra phản ví dụ chính xác.
(a) Giả sử tứ giác $AEDF$ nội tiếp. Chứng minh $\dfrac{PA}{PD}=(\tan B+\tan C)\cot\dfrac A2$.
(b) Gọi $CP$ cắt đường thẳng qua $B$ vuông góc với $AB$ tại $M$; $BP$ cắt đường thẳng qua $C$ vuông góc với $AC$ tại $N$. Gọi $K$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $MN$. Chứng minh $\angle BKC+\angle MAN$ không đổi khi $P$ di chuyển trên $AD$.
Các giao điểm và góc được hiểu ở vị trí không suy biến. Lưu ý phạm vi nguồn: câu (b), nếu dùng góc thông thường trên toàn đoạn đường cao, không đúng như đã in; lời giải giữ lập luận trong cấu hình của nguồn và đưa kiểm tra phản ví dụ chính xác.