Câu hỏi 3
Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Trên cung $BC$ không chứa $A$ lấy điểm $D$. Giả sử $CD$ cắt $AB$ tại $E$, $BD$ cắt $AC$ tại $F$. Gọi $(K)$ là đường tròn nằm trong tam giác $EBD$, tiếp xúc $EB,ED$ và $(O)$. Gọi $(L)$ là đường tròn nằm trong tam giác $FCD$, tiếp xúc $FC,FD$ và $(O)$.
(a) Gọi $M$ là tiếp điểm của $(K)$ với $BE$, $N$ là tiếp điểm của $(L)$ với $CF$. Chứng minh đường tròn đường kính $MN$ luôn đi qua một điểm cố định khi $D$ di chuyển.
(b) Đường thẳng qua $M$ song song với $CE$ cắt $AC$ tại $P$; đường thẳng qua $N$ song song với $BF$ cắt $AB$ tại $Q$. Chứng minh hai đường tròn ngoại tiếp $AMP,ANQ$ cùng tiếp xúc với một đường tròn cố định khi $D$ di chuyển.
Lưu ý nguyên văn: nguồn viết nhầm $(L)$ là “tâm đường tròn”; các tiếp xúc và lời giải sau đó rõ ràng dùng $(L)$ là đường tròn. Phát biểu cho toàn cung có vấn đề về cấu hình, được nêu rõ trong lời giải.
(a) Gọi $M$ là tiếp điểm của $(K)$ với $BE$, $N$ là tiếp điểm của $(L)$ với $CF$. Chứng minh đường tròn đường kính $MN$ luôn đi qua một điểm cố định khi $D$ di chuyển.
(b) Đường thẳng qua $M$ song song với $CE$ cắt $AC$ tại $P$; đường thẳng qua $N$ song song với $BF$ cắt $AB$ tại $Q$. Chứng minh hai đường tròn ngoại tiếp $AMP,ANQ$ cùng tiếp xúc với một đường tròn cố định khi $D$ di chuyển.
Lưu ý nguyên văn: nguồn viết nhầm $(L)$ là “tâm đường tròn”; các tiếp xúc và lời giải sau đó rõ ràng dùng $(L)$ là đường tròn. Phát biểu cho toàn cung có vấn đề về cấu hình, được nêu rõ trong lời giải.