Trong mặt phẳng, cho đường tròn $(O)$ và hai điểm cố định phân biệt $B, C$ thuộc đường tròn, sao cho $BC$ không là đường kính. Điểm $A$ di động trên $(O)$, khác $B$ và $C$. Gọi $D, K, J$ lần lượt là trung điểm của $BC, CA, AB$. Gọi $E, M, N$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A, B, C$ lên các đường thẳng $BC, DJ, DK$.
Chứng minh rằng các tiếp tuyến tại $M$ và $N$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $EMN$ luôn cắt nhau tại một điểm $T$ cố định khi $A$ thay đổi.
Một cánh đồng hình chữ nhật gồm $m$ hàng và $n$ cột ô vuông. Người ta đặt máy bơm vào một số ô. Mỗi máy tưới được ô chứa nó, các ô chung cạnh với ô đó và các ô cùng cột cách nó đúng một ô vuông. Tìm số máy bơm ít nhất để tưới hết cánh đồng khi (1) $m=4$; (2) $m=3$.
Cho số nguyên tố $p\ge17$. Chứng minh rằng $t=3$ là số nguyên dương lớn nhất thỏa mãn điều kiện: với các số nguyên bất kì $a,b,c,d$ sao cho $abc$ không chia hết cho $p$ và $a+b+c$ chia hết cho $p$, tồn tại các số nguyên $x,y,z$ thuộc tập $\{0,1,\ldots,\lfloor p/t\rfloor-1\}$ sao cho $ax+by+cz$ chia hết cho $p$.
Lưu ý biên tập: Đề in thiếu hạng tử $+d$. Mệnh đề nguyên văn sai vì $x=y=z=0$ cũng thỏa mãn khi $t=4$. Điều kiện sửa đúng là $p\mid ax+by+cz+d$; lời giải mẫu chứng minh rõ phiên bản đã sửa.
Cho dãy số nguyên dương $(x_n)$ được xác định bởi $x_1=1$, $x_2=2011$, $x_{n+2}=4022x_{n+1}-x_n$ với mọi số nguyên dương $n$. Chứng minh rằng $(x_{2012}+1)/2012$ là số chính phương.
Chứng minh $C=10\sqrt{24}$ là hằng số lớn nhất có tính chất: nếu 17 số thực dương $a_1,\ldots,a_{17}$ thỏa mãn
$$\sum_{i=1}^{17}a_i^2=24,\qquad \sum_{i=1}^{17}a_i^3+\sum_{i=1}^{17}a_i\lt C,$$
thì với mọi $1\le i\lt j\lt k\le17$, các số $a_i,a_j,a_k$ là độ dài ba cạnh một tam giác.
Có 42 học sinh tham dự kỳ thi chọn đội tuyển Olympic Toán quốc tế. Mỗi học sinh quen đúng 20 học sinh khác. Chứng minh có thể chia 42 học sinh thành 2 nhóm hoặc 21 nhóm có số học sinh bằng nhau, sao cho hai học sinh bất kỳ trong cùng nhóm đều quen nhau. Quan hệ quen biết được hiểu là đối xứng.