Kí hiệu $\mathbb R$ là tập hợp các số thực. Một hàm $f:\mathbb R\to\mathbb R$ thỏa mãn
$$f(\cot x)=\cos2x+\sin2x$$
với mọi $0\lt x\lt \pi$. Xác định hàm $g(x)=f(x)f(1-x)$ với $-1\le x\le1$. Hãy xác định giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của $g(x)$ trên đoạn $[-1;1]$.
Cho hai đường tròn $C_1$ và $C_2$ tiếp xúc ngoài nhau tại điểm $M$ và bán kính của $C_2$ lớn hơn của $C_1$. Một điểm $A$ chuyển động trên $C_2$ không thẳng hàng với đường thẳng đi qua hai tâm. $B$ và $C$ là các điểm trên $C_1$ thỏa mãn $AB$ và $AC$ tiếp xúc với $C_1$. Các đường thẳng $BM,CM$ giao với $C_2$ lần nữa tại $E,F$ tương ứng. $D$ là giao của tiếp tuyến tại $A$ và đường thẳng $EF$. Chứng minh rằng quỹ tích của điểm $D$ khi mà $A$ thay đổi là một đường thẳng.
Cho $S_n$ là số các hoán vị của $(a_1,a_2,\ldots,a_n)$ của $(1,2,\ldots,n)$ thỏa mãn $1\le|a_k-k|\le2$ với mọi $k$. Chứng minh rằng
$$\frac74S_{n-1}\lt S_n\lt 2S_{n-1}$$
với mỗi số nguyên $n\gt 6$.
Hãy xác định số nguyên dương $n$ lớn nhất thỏa mãn rằng các phương trình sau có nghiệm số nguyên $x,y_1,y_2,\ldots,y_n$:
$$(x+1)^2+y_1^2=(x+2)^2+y_2^2=\cdots=(x+n)^2+y_n^2.$$
Xác định đa thức
$$p(x)=4x^3-2x^2-15x+9,\qquad q(x)=12x^3+6x^2-7x+1.$$
Chứng minh rằng mỗi đa thức có ít nhất ba nghiệm thực phân biệt. Cho $A$ là nghiệm số lớn nhất của $p(x)$ và $B$ là nghiệm lớn nhất của đa thức $q(x)$. Chứng minh rằng $A^2+3B^2=4$.
Kí hiệu $\mathbb R^+$ là tập hợp các số thực dương. Kí hiệu $\mathcal F$ là tập tất cả các hàm $f:\mathbb R^+\to\mathbb R^+$ thỏa mãn
$$f(3x)\ge f(f(2x))+x$$
với mọi $x\gt 0$. Hãy xác định hằng số thực $\alpha$ lớn nhất thỏa mãn $f(x)\ge\alpha x$ với mọi $f\in\mathcal F$ và mọi $x\in\mathbb R^+$.