Cho các số nguyên dương $m,n,p,q$ với $p\lt m$, $q\lt n$ và các điểm $A(0,0)$, $B(p,0)$, $C(m,q)$, $D(m,n)$. Các đường đi $f:A\to D$, $g:B\to C$ gồm những bước đơn vị sang phải hoặc lên trên. Gọi $S$ là số cặp có thứ tự $(f,g)$ không có điểm chung. Chứng minh
$$S=\binom{m+n}{n}\binom{m+q-p}{q}-\binom{m+q}{q}\binom{m+n-p}{n}.$$
Gọi $A_0,B_0,C_0$ lần lượt là trung điểm các đường cao $AH,BK,CL$ của tam giác không đều $ABC$. Gọi $O,I$ là tâm ngoại tiếp, tâm nội tiếp. Đường tròn nội tiếp tiếp xúc $BC,CA,AB$ lần lượt tại $D,E,F$. Chứng minh bốn đường thẳng $A_0D,B_0E,C_0F,OI$ đồng quy.
Hàm số thỏa $f(0,0)=5^{2003}$, $f(0,n)=0$ với mọi $n\in\mathbb N$, và với mọi số nguyên $m\gt 0,n$,
$$f(m,n)=f(m-1,n)-2\left\lfloor\frac{f(m-1,n)}2\right\rfloor+\left\lfloor\frac{f(m-1,n-1)}2\right\rfloor+\left\lfloor\frac{f(m-1,n+1)}2\right\rfloor.$$
Chứng minh tồn tại số nguyên dương $M$ sao cho $f(M,n)=1$ khi $|n|\le(5^{2003}-1)/2$, và bằng không với các $n$ khác.
Lưu ý biên tập: giữ nguyên điều kiện in $n\in\mathbb N$ ở trên. Điều kiện này thiếu các chỉ số âm và còn mâu thuẫn với $f(0,0)$ nếu quy ước $0\in\mathbb N$. Lời giải dùng điều kiện đầu đầy đủ theo ý định của đề: $f(0,n)=0$ với mọi số nguyên $n\ne0$. Dấu ngoặc trong nguồn được hiểu là phần nguyên.
Cho $M,N,P$ là trung điểm các cạnh $BC,CA,AB$ của tam giác $ABC$. Các điểm $M_1,N_1,P_1$ thuộc chu vi tam giác sao cho mỗi đường $MM_1,NN_1,PP_1$ chia đôi chu vi. (a) Chứng minh ba đường đồng quy tại $K$. (b) Chứng minh ít nhất một trong các tỷ số $KA/BC$, $KB/CA$, $KC/AB$ không nhỏ hơn $1/\sqrt3$.
“Chia đôi chu vi” nghĩa là hai cung đường gấp khúc trên biên nối cặp đầu mút có độ dài bằng nhau.
Gọi $\mathcal A$ là tập các hoán vị của $1,2,\ldots,2003$ không cố định tập con thực sự nào của $\{1,\ldots,2003\}$. Với $a=(a_1,\ldots,a_{2003})\in\mathcal A$, đặt
$$d(a)=\sum_{i=1}^{2003}(a_i-i)^2.$$
(a) Tìm giá trị nhỏ nhất $d_0$. (b) Tìm tất cả hoán vị đạt $d_0$.
Lưu ý biên tập: “không cố định tập con thực sự” được hiểu là không có tập con thực sự khác rỗng nào bất biến theo ánh xạ $i\mapsto a_i$. Phải loại tập rỗng vì nó luôn bất biến. Do đó các hoán vị được xét chính là những chu trình có độ dài $2003$.