Trong mặt phẳng, xét tập $S$ gồm $n\ge3$ điểm phân biệt thỏa mãn: (1) khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ của $S$ không vượt quá 1; (2) mỗi điểm $A$ có đúng hai điểm kề, nghĩa là hai điểm thuộc $S$ có khoảng cách bằng 1 tới $A$; (3) với hai điểm tùy ý $A,B\in S$, gọi $A',A''$ là hai điểm kề với $A$ và $B',B''$ là hai điểm kề với $B$, thì $\angle A' AA''=\angle B' BB''$. Có tồn tại tập như vậy khi $n=1991$ không? Khi $n=2000$ không? Vì sao?
Nguồn được cung cấp không ghi điểm từng bài. Mỗi bài dùng 1 điểm biên tập để tương thích khi nhập; đây không phải thang điểm chính thức.
Cho dãy số thực dương $a_1,\ldots,a_n$, với $n>2$ và $a_1\ne a_n$, là dãy không giảm ($a_k\le a_{k+1}$ với $1\le k\lt n$) hoặc không tăng ($a_k\ge a_{k+1}$ với $1\le k\lt n$). Cho các số thực dương $x,y$ thỏa mãn $$\frac xy\ge\frac{a_1-a_2}{a_1-a_n}.$$ Chứng minh rằng, với chỉ số tuần hoàn $a_{n+1}=a_1$, $a_{n+2}=a_2$, $$\sum_{k=1}^n\frac{a_k}{a_{k+1}x+a_{k+2}y}\ge\frac n{x+y}.$$
Cho dãy số thực dương $(x_n)$ xác định bởi $$x_1=1,\quad x_2=9,\quad x_3=9,\quad x_4=1,\qquad x_{n+4}=\sqrt[4]{x_nx_{n+1}x_{n+2}x_{n+3}}\quad(n\ge1).$$ Chứng minh dãy có giới hạn và tìm giới hạn đó.
Gọi $T$ là hình tứ diện tùy ý có mỗi cạnh dài không quá 1 và mỗi mặt là một tam giác vuông. Ký hiệu $s(T)$ là tổng bình phương diện tích bốn mặt. Tìm giá trị lớn nhất của $s(T)$.
Với mỗi số tự nhiên $n$, định nghĩa $f(1)=1$ và, khi $n>1$ có phân tích nguyên tố $n=p_1^{a_1}\cdots p_k^{a_k}$ với các số nguyên tố $p_i$ đôi một khác nhau và các số nguyên dương $a_i$, đặt $$f(n)=1+a_1p_1+\cdots+a_kp_k.$$ Gọi $f_s(n)$ là kết quả áp dụng hàm $f$ đúng $s$ lần. Chứng minh rằng với số tự nhiên $a$ cho trước, có số tự nhiên $s_0$ sao cho tổng $f_s(a)+f_{s-1}(a)$ không phụ thuộc vào số nguyên $s>s_0$. Số tự nhiên trong miền xác định được hiểu là số dương, theo định nghĩa đã cho.
Cho tập $X$ gồm $2n$ số thực đôi một khác nhau, với $n\ge3$. Xét tập $K$ gồm một số cặp có thứ tự $(x,y)$ với $x,y\in X$, $x\ne y$, thỏa mãn: (1) nếu $(x,y)\in K$ thì $(y,x)\notin K$; (2) mỗi số $x\in X$ có mặt trong nhiều nhất 19 cặp thuộc $K$. Chứng minh có thể phân chia $X$ thành năm tập con không rỗng đôi một không giao nhau $X_1,\ldots,X_5$ sao cho với mỗi $i=1,\ldots,5$, số cặp $(x,y)\in K$ mà $x,y$ cùng thuộc $X_i$ không vượt quá $3n$.