VMO 1991 — Bảng A

Hãy xác định tất cả các hàm số $f:\mathbb R\to\mathbb R$ sao cho bất đẳng thức sau đúng với các số thực $x,y,z$ bất kì:
$$\frac12 f(xy)+\frac12 f(xz)-f(x)f(yz)\ge\frac14.$$

Cho trước số lẻ $k\gt 1$. Với mỗi số nguyên dương $n$ ta xác định $f(n)$ là số nguyên không âm lớn nhất sao cho $k^n-1$ chia hết cho $2^{f(n)}$. Hãy xác định công thức tính $f(n)$ theo $k$ và $n$.

Cho một góc tam diện vuông $Oxyz$ và ba điểm cố định $A,B,C$ theo thứ tự nằm trên $Ox,Oy,Oz$. Một mặt cầu $(E)$ thay đổi nhưng luôn đi qua $A,B,C$ và $(E)$ cắt thêm các cạnh $Ox,Oy,Oz$ của góc tam diện lần lượt tại các điểm $A',B',C'$. Gọi $M$ và $M'$ theo thứ tự là trọng tâm của tam giác $ABC$ và $A'B'C'$. Hỏi rằng khi mặt cầu $(E)$ thay đổi thì trung điểm $S$ của đoạn thẳng $MM'$ chạy trên hình nào?

Có $1991$ học sinh đứng thành một vòng tròn và quay mặt vào trong để chơi một trò chơi đếm số như dưới đây. Mỗi học sinh đếm một số lần lượt theo chiều kim đồng hồ, bắt đầu từ học sinh $A$ nào đó. Các số đếm được là $1,2,3$ và cứ lặp theo thứ tự như thế. Nếu học sinh nào đếm số $2$ hoặc số $3$ thì phải rời ngay khỏi vị trí của vòng tròn. Học sinh còn lại cuối cùng sẽ được thưởng. Hỏi học sinh muốn được thưởng thì lúc bắt đầu chơi phải chọn vị trí thứ bao nhiêu theo chiều kim đồng hồ kể từ học sinh $A$ đếm số $1$ lần đầu tiên?

Cho tam giác $ABC$ với trọng tâm là $G$ và nội tiếp trong đường tròn bán kính $R$, các đường trung tuyến của tam giác này xuất phát từ các đỉnh $A,B,C$ kéo dài cắt đường tròn lần lượt tại $D,E,F$. Chứng minh rằng
$$\frac3R\le\frac1{GD}+\frac1{GE}+\frac1{GF}\le\sqrt3\left(\frac1{AB}+\frac1{BC}+\frac1{CA}\right).$$

Cho các số dương $x,y,z$ dương thỏa mãn $x\ge y\ge z$. Chứng minh rằng
$$\frac{x^2y}{z}+\frac{y^2z}{x}+\frac{z^2x}{y}\ge x^2+y^2+z^2.$$