SMO 2018 - Junior - Vòng 1

Trong năm số $\frac 9{11}$, $\frac{19}{22}$, $\frac{29}{33}$, $\frac{39}{44}$ và $\frac{49}{55}$, số nào có giá trị lớn nhất?

Tính giá trị của $$\begin{aligned}&\left(\frac 12+\frac 13+\frac 14+\cdots+\frac 1{2018}\right)\left(1+\frac 12+\frac 13+\frac 14+\cdots+\frac 1{2017}\right)\\&-\left(1+\frac 12+\frac 13+\frac 14+\cdots+\frac 1{2018}\right)\left(\frac 12+\frac 13+\frac 14+\cdots+\frac 1{2017}\right).\end{aligned}$$

Cho hình thang vuông $ABCD$ có $AB=BC$, $\angle ABC=\angle BCD=90^\circ$, và điểm $E$ trên $BC$ sao cho $AE=AD$. Nếu $AD=10$ và $BE=6$, hãy tìm độ dài $DE$.



Các lựa chọn gốc: A. $\sqrt 2$; B. $\sqrt 3$; C. $2$; D. $2\sqrt 2$; E. $2\sqrt 3$.

Trên một hòn đảo lạ chỉ có hai loại cư dân: người nói thật luôn nói thật và người nói dối luôn nói dối. Một hôm, bạn gặp hai cư dân A và B. A nói: “Ít nhất một trong hai chúng tôi là người nói dối.” B im lặng. Khẳng định nào sau đây chắc chắn đúng?

Giả sử có x thỏa mãn $ax+5=0$ và $-5\lt x\lt 5$. Điều kiện nào sau đây mô tả đầy đủ miền giá trị của a?

Có 24 bình giống nhau, mỗi bình chứa tối đa 12 lít. Các bình đang chứa nước. Nếu một nửa số bình đầy một nửa, một phần tư số bình đầy một phần tư, một phần sáu số bình đầy một phần sáu và một phần mười hai số bình đầy một phần mười hai, hãy tìm tổng lượng nước trong các bình, tính bằng lít.

Một bộ bốn số nguyên dương $(a,b,c,d)$ được gọi là cân bằng nếu trung bình cộng, trung vị và mốt của a,b,c,d bằng nhau. Có bao nhiêu bộ bốn cân bằng thỏa mãn $a\le b\le c\le d$ và $a+b+c+d=44$?

Trong hình, $ED$ là đường kính của đường tròn. $EC$, $CO$ và $OD$ lần lượt là đường kính của ba nửa đường tròn. Nếu $EC=12$, $CO=4$, $OD=16$ và diện tích phần tô là $k\pi$, hãy tìm k.

Nếu $m^2-5 m-300=0$, hãy tính $$m^3-325 m+1503.$$

Trong Vòng 1 của một trò chơi, ba số 2,3 và 5 được viết quanh một đường tròn. Sang Vòng 2, giữa mỗi hai số kề nhau theo đường tròn được viết thêm tổng của chúng. Hình cho các số sau Vòng 1 và Vòng 2. Tìm tổng mọi số viết quanh đường tròn sau Vòng 5. Trong hình, “Round 1” là “Vòng 1” và “Round 2” là “Vòng 2”.

Trong hình, nếu $AD=2$, $AC=6$, $\angle BAC=\angle BCA=\angle DEC=\angle CDE$, hãy tìm $AB^2$.

Một thương nhân mua p điện thoại giống nhau với tổng giá m đô-la, trong đó p là số nguyên tố và m là số nguyên dương. Ông bán 2 điện thoại cho một tổ chức từ thiện, mỗi chiếc với giá bằng nửa giá vốn, rồi bán số còn lại tại cửa hàng với lãi 200 đô-la mỗi chiếc. Nếu tổng lợi nhuận từ tất cả điện thoại là 1800 đô-la, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của m.

Xét mặt phẳng tọa độ $x$-$y$, với chiều dương trục x sang phải và chiều dương trục y hướng lên. Một con kiến bắt đầu từ gốc tọa độ và bò theo thứ tự:2 đơn vị sang trái,3 đơn vị lên trên,4 đơn vị sang phải, rồi 2 đơn vị xuống dưới. Kiến lặp lại mẫu chuyển động ấy cho đến khi đi tổng cộng 2018 đơn vị. Nếu điểm cuối có tọa độ $(m,n)$, hãy tìm $m+n$.

Một số nguyên dương có ba chữ số thỏa mãn: (i) đổi chỗ chữ số hàng chục và hàng đơn vị thì số tăng 36; (ii) đổi chỗ chữ số hàng trăm và hàng đơn vị thì số giảm 495. Tìm số đó.

Cho tờ giấy hình chữ nhật $ABCD$ có $AB=12$, $BC=24$. Nếu gấp giấy theo đường chéo $AC$, xuất hiện phần chồng lên nhau như hình. Tìm diện tích phần chồng này.

Nếu $a-b=3+\sqrt 8$ và $b-c=3-\sqrt 8$, hãy tính $$a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac.$$

Một giáo viên tổ chức chuyến đi cho học sinh. Chuyến đi có giá T đô-la, không phụ thuộc số học sinh tham gia, và được chia đều cho người tham gia. Nếu tất cả học sinh đi thì mỗi em trả một số nguyên đô-la. Sau khi giáo viên thông báo mức đóng, có 4 học sinh rút lui. Không tính bốn em ấy, mỗi học sinh còn lại vẫn trả một số nguyên đô-la. Tuy nhiên, đến ngày đi có thêm 2 em bị ốm và vắng. Vì hai em này không tham gia, mỗi học sinh thực sự đi phải trả thêm 3 đô-la. Nếu giáo viên có từ 24 đến 40 học sinh, kể cả hai đầu, hãy tìm tổng chi phí T.

Trong hình, tam giác $AOB$ vuông cân với $OA=OB=40$. Điểm D trên OB thỏa mãn $OD:DB=3:1$. Điểm E thuộc AD sao cho OE vuông góc AD, và tia OE kéo dài gặp AB tại C. Nếu $[OAC]$ là diện tích tam giác $OAC$, hãy tính $7[OAC]$.

Tính $$\sqrt{9^2+19}+\sqrt{19^2+39}+\sqrt{29^2+59}+\sqrt{39^2+79}+\cdots+\sqrt{639^2+1279}.$$

Nếu x là số thực dương thỏa mãn $x^2=\sqrt 3$, hãy tính $$\frac 1{x-1}-\frac 1{x+1}-\frac 2{x^2+1}.$$