SMO 2018 - Open - Vòng 1

Trong đề này, $[x]$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá x. Ví dụ, $[5]=5$, $[2.8]=2$, $[-2.3]=-3$.

Tìm diện tích miền R trên mặt phẳng xy gồm các điểm (x,y) thỏa mãn $[x]+[y]=10$, với $0\le x\le 3$.

(Chú ý: Nếu cho rằng miền R không có diện tích, hãy ghi đáp án “0”; nếu cho rằng miền R không bị chặn, hãy ghi đáp án “99999”.)

Tính tổng $$1+1+2+1+2+3+1+2+3+4+\cdots+1+2+3+\cdots+20.$$

Gọi a và b lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của x thỏa mãn $$|x-1|+|6-2 x|=|5-x|.$$ Tìm a-b.

Cho $S_n=\sum_{k=1}^n\frac{k}{(k+1)!}$. Tính $2019!\times(1-S_{2018})$.

Một bàn hình chữ nhật có hai ghế ở mỗi cạnh dài và một ghế ở mỗi cạnh ngắn. Có bao nhiêu cách xếp sáu người ngồi?

(Chú ý: Hai cách xếp được coi là giống nhau nếu có thể thu được từ nhau bằng phép quay bàn hình chữ nhật.)

Tìm số nguyên dương nhỏ nhất sao cho tổng các lũy thừa bậc năm của các chữ số không chia hết cho tổng các chữ số.

Ba trong bốn số nguyên từ 100 đến 1000 bằng tổng lập phương các chữ số của chính nó là 153, 371 và 407 (ví dụ, $1^3+5^3+3^3=153$). Hãy tìm số thứ tư.

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm $f(x)=\frac{x^2+x+2018}{x-2017}$ với $x\gt 2017$.

Cho đa thức $p(x)=x^3+ax^2+bx+c$, trong đó a,b,c là các số nguyên khác không đôi một phân biệt. Giả sử $p(a)=a^3$ và $p(b)=b^3$. Tính p(13).

Tìm số nguyên nhỏ nhất r sao cho $$1+\frac 1{\sqrt 2}+\frac 1{\sqrt 3}+\frac 1{\sqrt 4}+\cdots+\frac 1{\sqrt{2018}}\le r\sqrt{2018}.$$

Tìm khoảng cách ngắn nhất từ điểm (22,21) đến đồ thị $x^3+1=y(3 x-y^2)$, làm tròn đến số nguyên gần nhất nếu cần.

Cho $S=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac{n}{n+k}$, hãy tìm $e^S$, trong đó e là cơ số của logarit tự nhiên.

Cho tam giác ABC có a=BC, b=AC, c=AB. Giả sử a+c=2 b, $\angle A-\angle C=\pi/3$ và $\sin B=\sqrt m/n$ với m,n là các số nguyên dương. Giá trị nhỏ nhất của m+n là bao nhiêu?

Ah Meng sẽ tô một số ô của bảng chữ nhật 6 × 11 sao cho trong mỗi hình chữ L thuộc các dạng , ít nhất một nửa số ô của hình được tô. Tìm số ô ít nhất trên bảng mà Ah Meng phải tô để thỏa mãn điều kiện này.

Trong tam giác ABC, $AB=7$, $BC=10$, $CA=\sqrt{73}$; M là trung điểm AC và P thuộc BC sao cho AP cắt BM tại Q, đồng thời BP=BQ. Tìm độ dài AP.

Tam giác $A'B'C'$ có độ dài các cạnh bằng độ dài ba đường trung tuyến của tam giác ABC. Biết tích độ dài ba cạnh của ABC là 640. Tìm tích độ dài ba trung tuyến của tam giác $A'B'C'$.

Cho $f_0(x)=\frac{x}{3 x+2}$ và với mọi số nguyên $n\ge 1$, $f_n(x)=f_0(f_{n-1}(x))$. Giả sử $f_{2018}(x)=\frac{x}{Ax+B}$. Tính 3 B-A.

Có bao nhiêu tập con ba phần tử {a,b,c} của {1,2,...,100} sao cho a+b+c là bội của 6? Ví dụ, {1,2,3} và {2,6,10} là những tập như vậy.

(Chú ý: {a,b,c}, {a,c,b} và {b,a,c} được coi là cùng một tập.)

Giả sử $a_1\lt 2$ và với mọi số nguyên $n\ge 2$, $a_n=1+a_{n-1}(a_{n-1}-1)$. Nếu $$\frac 1{a_1}+\frac 1{a_2}+\cdots+\frac 1{a_m}=1$$ với một số nguyên m, hãy tìm giá trị lớn nhất của $16 a_1-a_{m+1}$.

Cho a,b,c thực thỏa mãn $a+bc=b+ca=c+ab=870$. Tìm giá trị lớn nhất của ab+bc+ca.