SMO 2018 - Junior - Vòng 2

Xét số nguyên $\overline{30 x 070 y 03}$, trong đó $x,y$ là các chữ số chưa biết. Tìm tất cả các cặp giá trị $x,y$ sao cho số đã cho là bội của $37$.

Trong tam giác $ABC$, $AB=AC=14\sqrt 2$, $D$ là trung điểm của $CA$ và $E$ là trung điểm của $BD$. Giả sử tam giác $CDE$ đồng dạng với tam giác $ABC$. Tìm độ dài $BD$.

Một trăm quả bóng được ghi nhãn từ $1$ đến $100$ cần được cho vào hai hộp giống nhau sao cho mỗi hộp có ít nhất một bóng, và ước chung lớn nhất của tích các nhãn trong hộp này với tích các nhãn trong hộp kia bằng $1$. Tìm số cách thực hiện.

Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ có ít nhất $4$ ước dương sao cho $n$ bằng tổng bình phương của $4$ ước dương nhỏ nhất của nó.

Cho một số tam giác đều và hình vuông, tất cả đều có cạnh bằng $1$, và yêu cầu ghép các mảnh này thành đa giác lồi có $n$ cạnh. Nếu phải dùng cả hai loại mảnh, hãy tìm các giá trị có thể của $n$, giả sử có đủ số lượng mảnh.