Câu hỏi 1
Hai nghiệm của phương trình $x^2-3 x+1=0$ là $\alpha,\beta$. Tìm một phương trình bậc hai có hai nghiệm $\alpha^2+\alpha$ và $\beta^2+\beta$.
SMO 2018 - Senior - Vòng 1
Câu hỏi 2
Rút gọn $\sqrt{2+\sqrt 3}+\sqrt{2-\sqrt 3}$.
Câu hỏi 3
Khẳng định nào sau đây đúng?
Câu hỏi 4
Biểu thức nào sau đây lớn nhất?
Câu hỏi 5
Trong khai triển $\left(x^2+\frac 1 x\right)^9$, hãy tìm hệ số của $x^{15}$.
Câu hỏi 6
Đường thẳng $y=5 x-10$ cắt đường cong $x^2-4 x+y^2-32=0$ tại hai điểm P,Q. Tìm độ dài đoạn PQ theo mét, biết cả hai trục tọa độ đều được đo bằng mét.
Câu hỏi 7
Cho n là số nguyên dương, x được đo bằng radian. Nếu phương trình $2\pi\sin nx=2\pi-x$ với $0\le x\lt 2\pi$ có đúng 2018 nghiệm phân biệt, hãy tìm n.
Câu hỏi 8
Đa thức $p(x)=x^3+Ax^2+Bx-3$ có nhân tử $x^2+7 x+1$. Tìm số dư khi chia p(x) cho $x-4$.
Câu hỏi 9
Trong hình, các góc được đánh dấu tại các đỉnh A,B,C,D,E,F,G lần lượt là $a^\circ,b^\circ,c^\circ,d^\circ,e^\circ,f^\circ,g^\circ$. Tính $a+b+c+d+e+f+g$.
Câu hỏi 10
Tìm x, với $0^\circ\le x^\circ\le 90^\circ$, sao cho $\cos x^\circ=\cos 49^\circ+\cos 71^\circ$.
Câu hỏi 11
Cho x,y là các số thực. Tìm giá trị lớn nhất của $2 x^2-3 xy-2 y^2$ với điều kiện $$25 x^2-20 xy+40 y^2=36.$$
Câu hỏi 12
Giả sử $\sin 2 x=\frac 79$. Tính $108(\sin^6 x+\cos^6 x)$.
Câu hỏi 13
Tìm tổng tất cả các số nguyên dương x thỏa mãn $$(4\log_2(\log_{16}x))(3\log_{16}(\log_2 x)-1)=1.$$
Câu hỏi 14
Xét hàm $f(x)=ax^2-c$, với a,c là các hằng số. Giả sử $-3\le f(1)\le-2$ và $1\le f(2)\le 6$. Tìm giá trị lớn nhất có thể của $f(4)$.
Câu hỏi 15
Gọi a là số nhỏ nhất thỏa mãn bất đẳng thức $$\left|\frac{|x+9|}{10}-\frac{|x-9|}{10}\right|\le x-1.$$ Nếu $a=\frac mn$, trong đó m,n là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau, hãy tìm $m+n$.
Câu hỏi 16
Cho P(x) là đa thức bậc 4 thỏa mãn $P(n)=\frac{120}{n}$ với n=1,2,3,4,5. Tính P(6).
Câu hỏi 17
Cho $$L=\sum_{k=7}^{16}(1+\tan(15 k^\circ+15^\circ)\tan 15 k^\circ).$$ Tìm số nguyên lớn nhất không vượt quá L.
Câu hỏi 18
Tìm số nguyên dương nhỏ nhất có ba chữ số mà bình phương của nó tận cùng bằng 129.
Câu hỏi 19
Trong hình, các điểm A,B,C,D nằm trên đường tròn, hai đường AD và BC cắt nhau tại P. Đường AF tiếp xúc với đường tròn. Điểm E thuộc AF sao cho hai đường DE và PF cắt nhau tại C. Nếu AP phân giác góc BAC và $\angle CEA=(22+y)^\circ$, với $y^\circ=\angle BAP$, hãy tìm góc APC theo độ.
Câu hỏi 20
Mười một hộp giống nhau được xếp thành một hàng. Có bao nhiêu cách đặt tám bóng giống nhau vào các hộp, mỗi hộp nhiều nhất một bóng, sao cho không có ba hộp rỗng liên tiếp?