Xét hình lập phương có cạnh bằng $2$. Gọi $A,B$ là hai đỉnh xa nhau nhất. Dựng một dãy điểm $A_1,A_2,\ldots,A_k$ trên mặt hình lập phương sao cho $A_1=A$, $A_k=B$, và với mọi $i=1,\ldots,k-1$, khoảng cách từ $A_i$ đến $A_{i+1}$ bằng $3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $k$.
Cho điểm $O$ nằm trong tam giác $ABC$ sao cho $\angle BOC=90^\circ$ và $\angle BAO=\angle BCO$. Chứng minh rằng $\angle OMN=90^\circ$, trong đó $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AC,BC$.
Mỗi ô của bảng $2\times 2018$ ô vuông được tô đen hoặc trắng sao cho trong mỗi khối $2\times 2$, ít nhất một trong 4 ô có màu trắng. Gọi $P$ là số cách tô bảng. Tìm số nguyên lớn nhất $k$ sao cho $P$ chia hết cho $3^k$.
Xét đa thức $P(x,y,z)$ ba biến với hệ số nguyên sao cho với mọi số thực $a,b,c$, $$P(a,b,c)=0\quad\Longleftrightarrow\quad a=b=c.$$ Tìm số nguyên lớn nhất $r$ sao cho với mọi đa thức $P(x,y,z)$ như vậy và mọi số nguyên $n,m$, $$m^r\mid P(n,n+m,n+2 m).$$