Ngân hàng câu hỏi IMSO Maths 2006

**Hướng dẫn thi được in trong nguồn.** Trả lời 5 câu sau và trình bày lời giải chi tiết trên giấy trả lời. Ghi số câu hỏi trên mỗi tờ giấy. Mỗi câu được 8 điểm. Thời gian: 60 phút.

Đáp án mỗi gợi ý trong ô chữ số này là một số có hai chữ số, không bắt đầu bằng 0. Điền đầy đủ lưới, nêu thứ tự giải các gợi ý và giải thích vì sao chỉ có một nghiệm.

**Ngang:** 1. Một số chính phương; 3. Một bội của 11.

**Dọc:** 1. Một bội của 7; 2. Một số lập phương.

Chú ý $2^2+2^2=2^3$, nên tổng hai số chính phương có thể là một số lập phương; tuy nhiên hai số chính phương này bằng nhau (đều bằng 4).

(a) Tìm hai số chính phương khác nhau có tổng là một số lập phương.

(b) Chứng minh có vô số cặp số chính phương khác nhau có tổng là một số lập phương.

Có thể tìm được một số $11\ldots11$ chỉ gồm các chữ số 1 và chia hết cho 19 không?

Thực đơn căn tin trường không thay đổi và gồm 10 món khác nhau. Peter quyết định mỗi ngày ăn một bữa trưa khác, có ít nhất 1 món. Trong mỗi bữa, bạn có thể chọn bao nhiêu món tùy ý nhưng không lặp món.

(a) Peter có thể làm như vậy nhiều nhất bao nhiêu ngày?

(b) Trong khoảng thời gian đó, Peter đã ăn tổng cộng bao nhiêu lượt món?

Một dãy hình được tạo như sau.

1. Hình $S_1$ là hình vuông tô màu có cạnh 1 đơn vị.
2. Chia $S_1$ thành 9 hình vuông bằng nhau rồi bỏ bốn hình, chỉ giữ hình ở giữa và bốn góc, được $S_2$.
3. Áp dụng bước 2 cho từng hình vuông của $S_2$, được $S_3$.
4. Áp dụng bước 2 cho từng hình vuông của $S_3$, được $S_4$.

Tiếp tục như vậy.



(a) Tính diện tích và chu vi $S_3$, viết đáp số dưới dạng phân số.

(b) Tìm giá trị $k$ nhỏ nhất sao cho $S_k$ có diện tích nhỏ hơn $1/30$ và đồng thời chu vi lớn hơn 30.

Trong đợt giảm giá, Sam mua một chiếc radio có giá 500 đô la. Nếu được giảm 5%, Sam phải trả bao nhiêu?

Có bao nhiêu cách viết 2006 thành tích của hai thừa số, mỗi thừa số lớn hơn 1?

Chien-Ming Wang là vận động viên ném bóng người Đài Loan của đội New York Yankees, dự kiến thi đấu vào thứ Tư lúc 6:00 chiều theo giờ New York. Nếu giờ Đài Bắc nhanh hơn 13 giờ, truyền hình trực tiếp tại Đài Bắc bắt đầu khi nào?

Ở Pingtung, trung bình nhiệt độ thấp nhất của các ngày trong một tuần là 30°C. Nhiệt độ thấp nhất của sáu ngày đầu lần lượt là 27°C, 29°C, 32°C, 33°C, 29°C và 32°C. Nhiệt độ thấp nhất của ngày cuối tuần là bao nhiêu?

Có bao nhiêu số nguyên dương lớn hơn 5000 lập được từ các chữ số 2, 4, 6, 7 và 8, nếu trong mỗi số không dùng một chữ số quá một lần?

Hội đồng học sinh có 36 thành viên, tỉ số số nam và số nữ là $3:1$. Cần thêm bao nhiêu bạn nữ để tỉ số số nam và số nữ thành $9:5$?

Chữ số đầu của một số có sáu chữ số là 1. Chuyển chữ số 1 này xuống cuối, giữ nguyên thứ tự năm chữ số còn lại. Ví dụ, 123456 thành 234561. Nếu số mới bằng đúng 3 lần số ban đầu, số ban đầu là bao nhiêu?

Dưới đây là hình khai triển của một khối lập phương và bốn khối ứng viên. Khối nào trong bốn hình có thể gấp từ hình khai triển? (Trang gốc đặt hình khai triển bên phải, các khối bên trái.)

Hai đa giác chồng lên nhau sao cho $\frac23$ diện tích đa giác nhỏ nằm ngoài đa giác lớn và $\frac89$ diện tích đa giác lớn nằm ngoài đa giác nhỏ. Khi đặt tách rời, tổng diện tích hai đa giác là 120 cm². Diện tích phần giao là bao nhiêu?

Một tờ giấy vuông chia thành 16 ô bằng nhau theo bảng $4\times4$, mỗi ô ghi một chữ cái khác nhau như hình. Gấp giấy bốn lần:

1. Nửa trên phủ lên nửa dưới.
2. Nửa trái phủ lên nửa phải.
3. Nửa dưới phủ lên nửa trên.
4. Nửa phải phủ lên nửa trái.

Ô ở lớp thứ 10 tính từ trên xuống mang chữ nào?

Dãy Fibonacci là 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,... . Mỗi số hạng sau hai số đầu bằng tổng hai số hạng liền trước. Tỉ số lớn nhất giữa hai số hạng kề nhau là bao nhiêu?

Tổng của sáu số nguyên dương bằng tích của chúng. Giá trị chung đó là bao nhiêu?

Hướng dẫn nguồn: 20 câu; mỗi đáp án đúng được 2 điểm. Ghi đáp án vào phiếu trả lời. Thời gian: 60 phút.

Hiệu giữa tổng 1+2+4+8+16+32+64+128+256+512+1024 và 2048 là bao nhiêu?

Tính $1/2+(1/3+2/3)+(1/4+2/4+3/4)+\cdots+(1/10+2/10+\cdots+9/10)$.

Trong 25 số nguyên dương đầu tiên, có bao nhiêu số viết được thành tích của hai số nguyên tố khác nhau? (Lưu ý 1 không phải số nguyên tố.)